Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 4} \sin (x-4) \cos \left(\frac{1}{x^{2}-16}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 4} \sin(x-4)\cos\!\Big(\frac{1}{x^{2}-16}\Big).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função em questão é o produto de duas partes: \sin(x-4) e \cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big).
  • No ponto x=4 temos x^{2}-16=0, logo o argumento \tfrac{1}{x^{2}-16} da função cosseno tende a infinito quando x\to4 (da esquerda ou da direita), o que torna \cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big) oscilante e sem limite definido isoladamente.
  • Precisamos, portanto, analisar o comportamento do produto quando x se aproxima de 4.

Passo 2

Analisar o comportamento da primeira parte \sin(x-4) quando x\to4.
Explicação didática: a função seno é contínua em todo \mathbb{R}. Continuidade em a significa que \lim_{t\to a}\sin t=\sin a. Aqui, fazendo a substituição t=x-4, quando x\to4 temos t\to0, então
\lim_{x\to4}\sin(x-4)=\sin(0)=0.
Intuição simples: quando o argumento do seno fica muito pequeno (próximo de 0), o seno também fica pequeno e tende a 0.

Passo 3

Analisar a segunda parte \cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big).
Explicação didática: o cosseno é uma função limitada — isto é, para todo y\in\mathbb{R} vale
-1\le \cos y\le 1,
ou, em termos de valor absoluto,
\big|\cos y\big|\le 1.
No nosso caso, mesmo que o argumento y=\tfrac{1}{x^{2}-16} tenda para \pm\infty quando x\to4, a desigualdade acima continua válida: \big|\cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big)\big|\le 1 para todos os x em que a expressão esteja definida.

Passo 4

Combinar as duas observações usando uma desigualdade útil.
Para todo x em que a expressão é definida,
\big|\sin(x-4)\cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big)\big| \le \big|\sin(x-4)\big| \cdot \big|\cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big)\big| \le \big|\sin(x-4)\big|\cdot 1 = \big|\sin(x-4)\big|.
Ou seja,
-\big|\sin(x-4)\big|\le \sin(x-4)\cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big)\le \big|\sin(x-4)\big|.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze theorem).
Explicação didática do teorema: se temos funções g(x) e h(x) com \lim_{x\to a}h(x)=0 e -h(x)\le f(x)\le h(x) num intervalo (exceto possivelmente em a), então \lim_{x\to a} f(x)=0.
No nosso caso, já mostramos que \sin(x-4)\cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big) está preso entre -\big|\sin(x-4)\big| e \big|\sin(x-4)\big|. Como no Passo 2 vimos que
\lim_{x\to4}\big|\sin(x-4)\big|=0,
pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to4}\sin(x-4)\cos\!\Big(\frac{1}{x^{2}-16}\Big)=0.

Resposta

0

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