A função em questão é o produto de duas partes: \sin(x-4) e \cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big).
No ponto x=4 temos x^{2}-16=0, logo o argumento \tfrac{1}{x^{2}-16} da função cosseno tende a infinito quando x\to4 (da esquerda ou da direita), o que torna \cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big) oscilante e sem limite definido isoladamente.
Precisamos, portanto, analisar o comportamento do produto quando x se aproxima de 4.
Passo 2
Analisar o comportamento da primeira parte \sin(x-4) quando x\to4.
Explicação didática: a função seno é contínua em todo \mathbb{R}. Continuidade em a significa que \lim_{t\to a}\sin t=\sin a. Aqui, fazendo a substituição t=x-4, quando x\to4 temos t\to0, então
\lim_{x\to4}\sin(x-4)=\sin(0)=0.
Intuição simples: quando o argumento do seno fica muito pequeno (próximo de 0), o seno também fica pequeno e tende a 0.
Passo 3
Analisar a segunda parte \cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big).
Explicação didática: o cosseno é uma função limitada — isto é, para todo y\in\mathbb{R} vale
-1\le \cos y\le 1,
ou, em termos de valor absoluto,
\big|\cos y\big|\le 1.
No nosso caso, mesmo que o argumento y=\tfrac{1}{x^{2}-16} tenda para \pm\infty quando x\to4, a desigualdade acima continua válida: \big|\cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big)\big|\le 1 para todos os x em que a expressão esteja definida.
Passo 4
Combinar as duas observações usando uma desigualdade útil.
Explicação didática do teorema: se temos funções g(x) e h(x) com \lim_{x\to a}h(x)=0 e -h(x)\le f(x)\le h(x) num intervalo (exceto possivelmente em a), então \lim_{x\to a} f(x)=0.
No nosso caso, já mostramos que \sin(x-4)\cos\!\big(\tfrac{1}{x^{2}-16}\big) está preso entre -\big|\sin(x-4)\big| e \big|\sin(x-4)\big|. Como no Passo 2 vimos que