Calcular:
partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) sendo f(x, y)=3 x^3 y^5-x^315 y^5.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo das derivadas parciais de uma função. A função dada é:
f(x, y) = 3x^3 y^5 - x^315 y^5
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais, que nos permite encontrar como a função muda em relação a cada variável, mantendo a outra constante. Precisamos aplicar as regras de derivação, como a regra do poder e a regra da constante multiplicativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função f(x, y) tem duas partes:
  1. 3x^3 y^5
  2. -x^315 y^5
Ao derivar em relação a x , tratamos y como uma constante.

Passo 3

Derivando a primeira parte 3x^3 y^5 em relação a x :
  • A constante 3y^5 permanece.
  • Usamos a regra do poder: a derivada de x^n é n x^n-1 .
Então,
partialpartial x(3x^3 y^5) = 3y^5 cdot 3x^2 = 9x^2 y^5

Passo 4

Derivando a segunda parte -x^315 y^5 em relação a x :
  • A constante -115 y^5 permanece.
  • Novamente, aplicamos a regra do poder.
Então,
partialpartial x(-x^315 y^5) = -115 y^5 cdot 3x^2 = -3x^215 y^5 = -x^25 y^5

Passo 5

Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter partial fpartial x :
partial fpartial x(x, y) = 9x^2 y^5 - x^25 y^5
Podemos simplificar se desejarmos, mas essa é a forma correta da derivada parcial em relação a x .

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Novamente, a função f(x, y) tem duas partes:
  1. 3x^3 y^5
  2. -x^315 y^5
Ao derivar em relação a y , tratamos x como uma constante.

Passo 7

Derivando a primeira parte 3x^3 y^5 em relação a y :
  • A constante 3x^3 permanece.
  • Aplicamos a regra do poder para y^5 .
Então,
partialpartial y(3x^3 y^5) = 3x^3 cdot 5y^4 = 15x^3 y^4

Passo 8

Derivando a segunda parte -x^315 y^5 em relação a y :
  • A constante -x^315 permanece.
  • Aplicamos a regra do poder para y^-5 .
Então,
partialpartial y(-x^315 y^5) = -x^315 cdot (-5)y^-6 = 5x^315 y^6 = x^33 y^6

Passo 9

Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter partial fpartial y :
partial fpartial y(x, y) = 15x^3 y^4 + x^33 y^6
Essa é a forma final da derivada parcial em relação a y .

Resposta

As derivadas parciais de f(x, y) são:
partial fpartial x(x, y) = 9x^2 y^5 - x^25 y^5
e
partial fpartial y(x, y) = 15x^3 y^4 + x^33 y^6

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