Calcular:
e
sendo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de cálculo das derivadas parciais de uma função. A função dada é:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais, que nos permite encontrar como a função muda em relação a cada variável, mantendo a outra constante. Precisamos aplicar as regras de derivação, como a regra do poder e a regra da constante multiplicativa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem duas partes:
Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
Derivando a primeira parte
em relação a
:
- A constante
permanece. - Usamos a regra do poder: a derivada de
é .
Então,
Passo 4
Derivando a segunda parte
em relação a
:
- A constante
permanece. - Novamente, aplicamos a regra do poder.
Então,
Passo 5
Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter
:
Podemos simplificar se desejarmos, mas essa é a forma correta da derivada parcial em relação a
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, a função
tem duas partes:
Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 7
Derivando a primeira parte
em relação a
:
- A constante
permanece. - Aplicamos a regra do poder para
.
Então,
Passo 8
Derivando a segunda parte
em relação a
:
- A constante
permanece. - Aplicamos a regra do poder para
.
Então,
Passo 9
Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter
:
Essa é a forma final da derivada parcial em relação a
.
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e