Passe para a forma polar e calcule o(s) resultado(s) na forma polar:
(1+i raiz3)^14=

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
z = 1 + iraiz3
em forma polar e depois encontrar todas as suas raízes de ordem 4 também em forma polar. Vamos usar conceitos de módulo e argumento de uma forma polar e a fórmula de De Moivre para raízes.

Passo 2

Primeiro calculamos o módulo e o argumento principal de z.
O módulo é
r = |z| = raiz1^2+(raiz3)^2 = raiz1+3 = 2
O argumento principal theta satisfaz tantheta = tfracraiz31 com z no primeiro quadrante, logo
theta = pi3
Portanto, em forma polar temos
z = 2,e^ipi/3

Passo 3

Para obter as raízes de ordem 4 de z, usamos a fórmula
z^1/4 = r^1/4,e^,itheta+2pi k4,
onde k=0,1,2,3. Aqui
r^1/4 = 2^1/4 e theta = pi3

Passo 4

Substituindo theta=pi/3 na fórmula para cada k, o argumento geral é
theta+2pi k4 = pi3 + 2pi k4 = pi12 + pi k2
Assim as quatro raízes são
2^1/4 ,e^,i(pi12 + pi k2), k=0,1,2,3,
que correspondem aos ângulos pi/12, 7pi/12, 13pi/12 e 19pi/12.

Resposta

(1+iraiz3)^1/4 = 2^1/4,e^,ipi12, 2^1/4,e^,i7pi12, 2^1/4,e^,i13pi12, 2^1/4,e^,i19pi12

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