Usando aproximação linear, encontre a variação das funções abaixo considerando as variações de ponto dadas.
f(x, y)=3 x^2-5 x^3 y^2+x-2 y^3+10 variando de (-2,3) para (-2,02 ; 3,01)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando aproximação linear. A gente tem a função f(x, y) = 3x^2 - 5x^3y^2 + x - 2y^3 + 10 e queremos descobrir como ela varia quando (x, y) muda de (-2, 3) para (-2,02 ; 3,01). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y, que são essenciais na aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f. A derivada parcial em relação a x é:
fx(x, y) = partial fpartial x = 6x - 15x^2y^2 + 1
E a derivada parcial em relação a y é:
fy(x, y) = partial fpartial y = -10x^3y + (-6y^2)

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto inicial (-2, 3):
Para fx(-2, 3):
fx(-2, 3) = 6(-2) - 15(-2)^2(3)^2 + 1 = -12 - 15(4)(9) + 1 = -12 - 540 + 1 = -551
Para fy(-2, 3):
fy(-2, 3) = -10(-2)^3(3) + (-6)(3)^2 = -10(-8)(3) - 54 = 240 - 54 = 186

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, a aproximação linear da variação de f é dada por:
De<a f approx fx(a, b) cdot De<a x + fy(a, b) cdot De<a y
Onde (a, b) = (-2, 3), De<a x = -2,02 - (-2) = -0,02 e De<a y = 3,01 - 3 = 0,01.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
De<a f approx (-551) cdot (-0,02) + 186 cdot 0,01
Calculando cada termo:
-551 cdot -0,02 = 11,02
186 cdot 0,01 = 1,86

Passo 6

Somando os dois resultados:
De<a f approx 11,02 + 1,86 = 12,88

Resposta

A variação aproximada da função f é De<a f approx 12,88 .

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