Calcular:
partial fpartial x(4,-3) e partial fpartial y(-2,2) sendo f(x, y)=x^2-8y e^x^2+y^3+3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de f(x, y) = x^2 - 8y e^x^2 + y^3 + 3 nos pontos específicos. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de funções que envolvem produtos e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Para isso, usamos a regra do produto, já que f(x, y) é o produto de x^2 - 8y e e^x^2 + y^3 + 3 .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = partialpartial x( x^2 - 8y ) cdot e^x^2 + y^3 + 3 + x^2 - 8y cdot partialpartial x( e^x^2 + y^3 + 3 )

Passo 4

Calculando cada parte separadamente:
  1. A derivada de x^2 - 8y em relação a x é 2xy .
  2. A derivada de e^x^2 + y^3 + 3 em relação a x é e^x^2 + y^3 + 3 cdot 2x (usando a regra da cadeia).

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão:
partial fpartial x = ( 2xy ) e^x^2 + y^3 + 3 + x^2 - 8y cdot ( e^x^2 + y^3 + 3 cdot 2x )

Passo 6

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = 2xy e^x^2 + y^3 + 3 + 2x(x^2 - 8)y e^x^2 + y^3 + 3
partial fpartial x = 2xy e^x^2 + y^3 + 3 ( 1 + x^2 - 8 )
partial fpartial x = 2x(x^2 - 7)y e^x^2 + y^3 + 3

Passo 7

Agora, vamos calcular partial fpartial x(4, -3) . Substituímos x = 4 e y = -3 na expressão:
partial fpartial x(4, -3) = 2 cdot 4 (4^2 - 7)-3 e^4^2 + (-3)^3 + 3

Passo 8

Calculando os valores:
4^2 = 16
(-3)^3 = -27
4^2 - 7 = 16 - 7 = 9
4^2 + (-3)^3 + 3 = 16 - 27 + 3 = -8

Passo 9

Substituindo de volta:
partial fpartial x(4, -3) = 8 cdot 9-3 e^-8 = 72-3 e^-8 = -24 e^-8

Passo 10

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y . Novamente, usamos a regra do produto.

Passo 11

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = partialpartial y( x^2 - 8y ) cdot e^x^2 + y^3 + 3 + x^2 - 8y cdot partialpartial y( e^x^2 + y^3 + 3 )

Passo 12

Calculando cada parte separadamente:
  1. A derivada de x^2 - 8y em relação a y é -x^2 - 8y^2 .
  2. A derivada de e^x^2 + y^3 + 3 em relação a y é e^x^2 + y^3 + 3 cdot 3y^2 .

Passo 13

Substituindo essas derivadas na expressão:
partial fpartial y = ( -x^2 - 8y^2 ) e^x^2 + y^3 + 3 + x^2 - 8y cdot ( e^x^2 + y^3 + 3 cdot 3y^2 )

Passo 14

Simplificando a expressão:
partial fpartial y = -x^2 - 8y^2 e^x^2 + y^3 + 3 + 3y^2(x^2 - 8)y e^x^2 + y^3 + 3
partial fpartial y = -x^2 - 8y^2 e^x^2 + y^3 + 3 + 3y(x^2 - 8) e^x^2 + y^3 + 3

Passo 15

Fatorando x^2 - 8y^2 e^x^2 + y^3 + 3 :
partial fpartial y = x^2 - 8y^2 e^x^2 + y^3 + 3 ( -1 + 3y^3 )

Passo 16

Agora, vamos calcular partial fpartial y(-2, 2) . Substituímos x = -2 e y = 2 na expressão:
partial fpartial y(-2, 2) = (-2)^2 - 82^2 e(-2)^2 + 2^3 + 3 ( -1 + 3 cdot 2^3 )

Passo 17

Calculando os valores:
(-2)^2 = 4
2^3 = 8
4 - 8 = -4
2^2 = 4
(-2)^2 + 2^3 + 3 = 4 + 8 + 3 = 15
-1 + 3 cdot 8 = -1 + 24 = 23

Passo 18

Substituindo de volta:
partial fpartial y(-2, 2) = -44 e^15 cdot 23 = -1 cdot e^15 cdot 23 = -23 e^15

Resposta

partial fpartial x(4, -3) = -24, e^-8
partial fpartial y(-2, 2) = -23, e^15

Exercícios relacionados