A superfície de um lago é representada por uma região A no plano
, de modo que a profundidade, em metros, sob o ponto
, é dada por
. Em que direção a profundidade permanece a mesma?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a profundidade de um lago representada pela função $ P(x, y) = 500 - 3x^{2} - 6y^{2} $. O que a pergunta quer saber é: em que direção a profundidade muda de jeito que ela permaneça a mesma? Ou seja, em qual direção a gente pode se mover no lago sem que a profundidade mude. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente sobre gradientes e direções de variação de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a profundidade $ P(x, y) $ é uma função de duas variáveis, $ x $ e $ y $. Queremos encontrar a direção onde a profundidade não muda, ou seja, onde a variação de $ P $ é zero.
Passo 3
Para isso, precisamos calcular o gradiente da função $ P(x, y) $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
A direção em que a profundidade permanece a mesma é perpendicular ao gradiente, porque o gradiente aponta na direção de maior variação da função. Então, queremos um vetor direção $ \mathbf{v} = (v_x, v_y) $ tal que:
Isso significa que o produto ponto entre o gradiente e o vetor direção deve ser zero.
Passo 5
Vamos estabelecer a condição:
Simplificando:
Podemos dividir tudo por -6 para simplificar ainda mais:
Isso nos dá a relação entre $ v_x $ e $ v_y $ que define a direção onde a profundidade permanece a mesma.
Passo 6
Para encontrar a direção específica, podemos escolher um valor para $ v_x $ ou $ v_y $. Vamos resolver para $ v_y $ em termos de $ v_x $:
Isso nos mostra que a direção $ \mathbf{v} $ é proporcional a $ (1, -\frac{x}{2y}) $. Podemos escrever isso como:
Resposta
A profundidade permanece a mesma na direção do vetor $ (2y, -x) $ para cada ponto $ (x, y) $ no lago.