Calcular:
fz(1,0,10)+fy(0,-1,1) sendo
f(x, y, z)=raizy^2+x ln (x z+y^2z^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular duas derivadas parciais da função f(x, y, z) = raizy^2 + x ln(x z + y^2z^3) . Especificamente, queremos encontrar fz(1,0,10) mais fy(0,-1,1) . Para isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z , que é fz . Para isso, usamos a regra da cadeia. A função dentro da raiz é y^2 + x ln(x z + y^2z^3) . Derivando em relação a z :
fz = 12raizy^2 + x ln(x z + y^2z^3) cdot (0 + x cdot partialpartial z ln(x z + y^2z^3))

Passo 3

Agora, vamos derivar o que está dentro do logaritmo:
partialpartial z ln(x z + y^2z^3) = 1x z + y^2z^3 cdot (x - 3 y^2z^4)
Então, substituindo de volta:
fz = x (x - 3 y^2z^4)2raizy^2 + x ln(x z + y^2z^3) cdot (x z + y^2z^3)

Passo 4

Agora, vamos calcular fz(1,0,10) . Substituindo x = 1 , y = 0 , e z = 10 :
Primeiro, calcule o denominador dentro da raiz:
y^2 + x ln(x z + y^2z^3) = 0 + 1 cdot ln(1 cdot 10 + 0) = ln(10)
Agora, substituindo na expressão de fz :
fz(1,0,10) = 1 cdot (1 - 0)2 raizln(10) cdot 10 = 120 raizln(10)

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que é fy . Novamente, usamos a regra da cadeia:
fy = 12raizy^2 + x ln(x z + y^2z^3) cdot (2y + x cdot partialpartial y ln(x z + y^2z^3))

Passo 6

Derivando o que está dentro do logaritmo em relação a y :
partialpartial y ln(x z + y^2z^3) = 1x z + y^2z^3 cdot (0 + 2yz^3) = 2yz^3 (x z + y^2z^3)
Então, substituindo na expressão de fy :
fy = 2y + x cdot 2yz^32raizy^2 + x ln(x z + y^2z^3)

Passo 7

Agora, vamos calcular fy(0,-1,1) . Substituindo x = 0 , y = -1 , e z = 1 :
Primeiro, o denominador dentro da raiz:
y^2 + x ln(x z + y^2z^3) = 1 + 0 = 1
Agora, substituindo na expressão de fy :
fy(0,-1,1) = 2(-1) + 0 cdot 2(-1)1^32 cdot 1 = -22 = -1

Resposta

Somando as duas derivadas encontradas:
fz(1,0,10) + fy(0,-1,1) = 120 raizln(10) + (-1)
Portanto, a resposta final é:
fz(1,0,10) + fy(0,-1,1) = -1 + 120 raizln(10)

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