Calcular:
ux y z(x, y, z) sendo u(x, y, z)=x raiz2 y+z-5 y^3 x^2z^6.
Calcule também uy y x(2, 58,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de ordem três da função u(x, y, z) = x raiz2 y + z - 5 y^3 x^2z^6 . O conteúdo envolvido aqui é derivação parcial de funções de várias variáveis. Vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia, para encontrar as derivadas solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de u em relação a x , que é ux .
A função é:
u(x, y, z) = x raiz2 y + z - 5 y^3 x^2z^6
Derivando em relação a x :
ux = partialpartial x ( x raiz2 y + z ) - partialpartial x ( 5 y^3 x^2z^6 )
Aplicando a derivada do monômio:
ux = raiz2 y + z - 10 y^3 xz^6

Passo 3

Agora, vamos derivar ux em relação a y , obtendo uxy .
Temos:
ux = raiz2 y + z - 10 y^3 xz^6
Derivando em relação a y :
uxy = partialpartial y ( raiz2 y + z ) - partialpartial y ( 10 y^3 xz^6 )
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
partialpartial y raiz2 y + z = 22 raiz2 y + z = 1raiz2 y + z
Para a segunda parte:
partialpartial y ( 10 y^3 xz^6 ) = 30 y^2 xz^6
Então:
uxy = 1raiz2 y + z - 30 y^2 xz^6

Passo 4

Agora, vamos derivar uxy em relação a z , obtendo uxyz .
Temos:
uxy = 1raiz2 y + z - 30 y^2 xz^6
Derivando em relação a z :
Para a primeira parte:
partialpartial z ( 1raiz2 y + z ) = -12 (2 y + z)^-3/2 cdot 1 = -12 (2 y + z)^3/2
Para a segunda parte:
partialpartial z ( 30 y^2 xz^6 ) = 30 y^2 x cdot (-6) z^-7 = -180 y^2 xz^7
Então:
uxyz = -12 (2 y + z)^3/2 - 180 y^2 xz^7

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial uyyx no ponto (2, 58, -1).
Primeiro, encontramos uyyx :
Começamos derivando u duas vezes em relação a y e depois uma vez em relação a x .
Primeiro, derivamos u em relação a y :
uy = partialpartial y ( x raiz2 y + z ) - partialpartial y ( 5 y^3 x^2z^6 )
uy = x cdot 22 raiz2 y + z - 15 y^2 x^2z^6 = xraiz2 y + z - 15 y^2 x^2z^6
Agora, derivamos uy novamente em relação a y :
uyy = partialpartial y ( xraiz2 y + z ) - partialpartial y ( 15 y^2 x^2z^6 )
uyy = x cdot (-22 (2 y + z)^3/2 ) - 30 y x^2z^6 = -x(2 y + z)^3/2 - 30 y x^2z^6
Por fim, derivamos uyy em relação a x :
uyyx = partialpartial x ( -x(2 y + z)^3/2 - 30 y x^2z^6 )
uyyx = -1(2 y + z)^3/2 - 60 y xz^6
Agora, substituímos x = 2 , y = 58 , e z = -1 :
uyyx(2, 58, -1) = -1(2 cdot 58 + (-1))^3/2 - 60 cdot 58 cdot 2(-1)^6
= -1(108 -1)^3/2 - 60 cdot 58 cdot 21
= -1(28)^3/2 - 60 cdot 1081
= -1(14)^3/2 - 6008
= -118 - 75 = -8 - 75 = -83

Resposta

uxyz(x, y, z) = -12 (2 y + z)^3/2 - 180 y^2 xz^7
uyyx(2, 58, -1) = -83

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