Se z=8 x sen(xy), quanto vale xz partial zpartial x+yz partial zpartial y ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá uma função z = 8x cdot sin(xy) e pede para calcular a expressão xz partial zpartial x + yz partial zpartial y . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a x , que é representada por partial zpartial x . Isso significa que tratamos y como uma constante e diferenciamos z em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x (8x cdot sin(xy))
Vamos aplicar a regra do produto aqui.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial zpartial x = 8 cdot sin(xy) + 8x cdot cos(xy) cdot 1y
Simplificando, temos:
partial zpartial x = 8 sin(xy) + 8xy cos(xy)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a y , partial zpartial y . Aqui, tratamos x como uma constante:
partial zpartial y = partialpartial y (8x cdot sin(xy))
Usamos a regra da cadeia para isso.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial y = 8x cdot cos(xy) cdot (-xy^2)
Simplificando:
partial zpartial y = -8x^2y^2 cos(xy)

Passo 6

Agora que temos partial zpartial x e partial zpartial y , vamos substituir na expressão original:
xz partial zpartial x + yz partial zpartial y
Substituindo z = 8x sin(xy) :
x8x sin(xy) (8 sin(xy) + 8xy cos(xy)) + y8x sin(xy) (-8x^2y^2 cos(xy))

Passo 7

Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
18 sin(xy) (8 sin(xy) + 8xy cos(xy)) = 1 + x cos(xy)y sin(xy)
Segundo termo:
y8x sin(xy) (-8x^2y^2 cos(xy)) = -x cos(xy)y sin(xy)

Passo 8

Agora, somando os dois termos:
1 + x cos(xy)y sin(xy) - x cos(xy)y sin(xy) = 1

Resposta

O valor da expressão é 1.

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