Uma superfície S é representada pela equação vetorial
r(u, v)=cos v i+sen v j+u k, 0 <= u <= 4,0 <= v <= 2 pi.
Determinar a área de S.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S parametrizada por
vec r(u,v)=cos v,vec i+sin v,vec j+u,vec k, 0<= u<=4,; 0<= v<=2pi,
que é um cilindro de raio 1 e altura 4. Para encontrar a área de S, vamos usar a fórmula da área de superfície paramétrica:
Área(S)=integral duplaDl|vec rutimesvec rvr|,du,dv, Á
onde D=[0,4]times[0,2pi].

Passo 2

Calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v.
vec ru = partialvec rpartial u = vec k, vec rv = partialvec rpartial v = -sin v,vec i + cos v,vec j

Passo 3

Determinar o produto vetorial vec rutimesvec rv.
vec rutimesvec rv = vec i & vec j & vec k 0 & 0 & 1 -sin v & cos v & 0 = -cos v,vec i - sin v,vec j

Passo 4

Calcular a norma de vec rutimesvec rv.
l|vec rutimesvec rvr| =raiz(-cos v)^2+(-sin v)^2 =raizcos^2v+sin^2v =1

Passo 5

Integrar a norma sobre o domínio D:
Área(S) =integralv=0^2piintegralu=0^41;du,dv =integral0^2pil[,ur]0^4,dv =integral0^2pi4,dv =4cdot2pi =8pi Á

Resposta

A área da superfície S é 8pi.

Exercícios relacionados