Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pela equação .
Aqui estamos trabalhando com integrais duplas e a região de integração é um losango (ou diamante) no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever essa região de forma mais simples para fazermos a integração, talvez dividindo em partes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar ou imaginar a região definida por . Essa é a equação de um losango centrado na origem, com vértices nos pontos , , e .
Como a região é simétrica em relação aos eixos e , podemos simplificar a integral calculando em apenas um dos quadrantes e depois multiplicando por 4. Vamos escolher o primeiro quadrante (, ).
Passo 3
No primeiro quadrante, a equação simplifica para . Então, para entre 0 e 1, varia de 0 a .
Agora, podemos escrever a integral dupla como 4 vezes a integral no primeiro quadrante:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :