Calcular integralegral duplaR^square(x+y) d x d y, sendo R a região delimitada por |x|+|y|=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR(x + y) , dx , dy, onde a região R é delimitada pela equação |x| + |y| = 1.
Aqui estamos trabalhando com integrais duplas e a região de integração é um losango (ou diamante) no plano xy. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever essa região de forma mais simples para fazermos a integração, talvez dividindo em partes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar ou imaginar a região R definida por |x| + |y| = 1. Essa é a equação de um losango centrado na origem, com vértices nos pontos (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1).
Como a região é simétrica em relação aos eixos x e y, podemos simplificar a integral calculando em apenas um dos quadrantes e depois multiplicando por 4. Vamos escolher o primeiro quadrante ( x >= 0, y >= 0).

Passo 3

No primeiro quadrante, a equação |x| + |y| = 1 simplifica para x + y = 1. Então, para x entre 0 e 1, y varia de 0 a 1 - x.
Agora, podemos escrever a integral dupla como 4 vezes a integral no primeiro quadrante:
4 integral0^1 integral0^1 - x (x + y) , dy , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^1 - x (x + y) , dy
Integrando termo a termo:
integral0^1 - x x , dy + integral0^1 - x y , dy = x(y) gr|0^1 - x + 12 y^2 gr|0^1 - x
Calculando os valores:
x(1 - x) - x(0) + 12(1 - x)^2 - 12(0)^2 = x(1 - x) + 12(1 - 2x + x^2)
Simplificando:
x - x^2 + 12 - x + 12x^2 = 12 - 12x^2

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a x:
4 integral0^1 ( 12 - 12x^2 ) dx = 4 [ 12x - 16x^3 ]0^1
Calculando os valores:
4 ( 12(1) - 16(1)^3 - 0 ) = 4 ( 12 - 16 ) = 4 ( 13 ) = 43

Resposta

O valor da integral integral duplaR(x + y) , dx , dy é 43.

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