Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como formar e resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada de equação característica. Substituímos
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes reais e distintas, a solução é uma combinação linear das exponenciais dessas raízes:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: