Resolva as equações diferenciais a seguir.
y^prime prime+y^prime-6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y'' + y' - 6y = 0 . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como formar e resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica chamada de equação característica. Substituímos y'' por r^2 , y' por r e y por 1. Assim, a equação fica:
r^2 + r - 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 1 e c = -6 . Substituindo:
r = -1 pm raiz1 + 242
r = -1 pm raiz252
r = -1 pm 52
Então, temos duas soluções:
r1 = 2
r2 = -3

Passo 4

Com os valores de r encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes reais e distintas, a solução é uma combinação linear das exponenciais dessas raízes:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x

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