Calcule a integral.
integral1^pi / 3 sen x ln (cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^pi/3 sin x,lnl(cos xr),dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = lnl(cos xr), dv = sin x,dx
Então
du = -sin xcos x,dx = -tan x,dx, v = -cos x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sin x,ln(cos x),dx = u,v - integral v,du = l(-cos xln(cos x)r) - integrall(-cos xr)l(-tan xr),dx
Como -cos xcdot(-tan x)=sin x, segue
integral sin x,ln(cos x),dx = -cos x,ln(cos x) - integral sin x,dx = -cos x,ln(cos x) + cos x + C
Portanto, um antiderivado é
F(x) = cos xl[1 - ln(cos x)r]

Passo 4

Agora avaliamos de x=1 a x=pi/3:
F!l(tfracpi3r) = cos!l(tfracpi3r)l[1-lnl(costfracpi3r)r] = tfrac12l[1-ln(tfrac12)r] = tfrac12l(1+ln 2r),
F(1) = cos(1)l[1-lnl(cos 1r)r]
Logo,
integral1^pi/3sin x,ln(cos x),dx = F!l(tfracpi3r) - F(1) = tfrac12l(1+ln 2r) - cos(1)l[1-lnl(cos 1r)r]

Resposta

boxedintegral1^pi/3sin x,ln(cos x),dx = tfrac12l(1+ln 2r) - cos(1)l[1-lnl(cos 1r)r]

Exercícios relacionados