Encontre a solução do seguinte PVI:
l y^prime(t)=t e^-y(t) y(0)=ln 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que quer resolver uma equação diferencial de primeira ordem. A equação é:
y^prime(t) = t e^-y(t)
E a condição inicial é y(0) = ln 5 . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que basicamente separa os termos com y dos termos com t .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com t do outro. A equação dada é:
dydt = t e^-y
Vamos multiplicar ambos os lados por e^y para isolar dy de um lado:
e^y , dy = t , dt

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados para encontrar y . A integral fica assim:
integral e^y , dy = integral t , dt
Integrando:
e^y = t^22 + C
Aqui, C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Vamos aplicar a condição inicial y(0) = ln 5 para encontrar o valor de C . Substituindo t = 0 e y = ln 5 na equação:
e^ln 5 = 0^22 + C 5 = C
Então, a constante C é igual a 5.

Passo 5

Com o valor de C encontrado, nossa equação fica:
e^y = t^22 + 5
Para encontrar y , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
y = ln(t^22 + 5)

Resposta

A solução do PVI é y(t) = ln(t^22 + 5) .

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