Encontre a solução do seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que quer resolver uma equação diferencial de primeira ordem. A equação é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que basicamente separa os termos com
dos termos com
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
de um lado:
Passo 3
Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados para encontrar
. A integral fica assim:
Integrando:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Então, a constante
é igual a 5.
Passo 5
Com o valor de
encontrado, nossa equação fica:
Para encontrar
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Resposta
A solução do PVI é
.