Calcular integralegral triplaT d V, sendo T o sólido delimitado por x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2=3 z.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido T limitado pelas superfícies
x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2=3z
Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e integrar
dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, as superfícies tornam-se
r^2+z^2=4, r^2=3z
Para um ponto em T temos simultaneamente r^2+z^2<=4 e z>= r^2/3.

Passo 3

Para cada z, a condição z>= r^2/3 equivale a
0<= r<=raiz3z,
e a condição r^2+z^2<=4 equivale a
0<= r<=raiz4-z^2
Igualando as fronteiras radiais,
raiz3z=raiz4-z^2 Longrightarrow 3z=4-z^2 Longrightarrow z^2+3z-4=0 Longrightarrow z=1
(raiz relevante no intervalo [0,2]).

Passo 4

O volume separa-se em duas regiões em z:
– Para 0<= z<=1, tem-se raiz3z<=raiz4-z^2, logo
0<= r<=raiz3z
– Para 1<= z<=2, tem-se raiz4-z^2<=raiz3z, logo
0<= r<=raiz4-z^2
Em ambas theta varia de 0 a 2pi. Assim
V ;=;integral0^2pi!l[integral0^1!integral0^raiz3zr,dr,dz ;+;integral1^2!integral0^raiz4-z^2r,dr,dzr],dtheta

Passo 5

Calcular a parte de 0<= z<=1:
I1 =2piintegral0^1l[tfrac12r^2r]0^raiz3zdz =piintegral0^13z,dz =picdot32 =3pi2

Passo 6

Calcular a parte de 1<= z<=2:
I2 =2piintegral1^2l[tfrac12r^2r]0^raiz4-z^2dz =piintegral1^2(4-z^2),dz =pil[4z-tfracz^33r]1^2 =5pi3

Passo 7

Somando as partes,
V = I1 + I2 = 3pi2 + 5pi3 = 19pi6

Resposta

19pi6

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