O centróide de uma curva é o seu centro de massa no caso em que a densidade é constante; note que o centróide independe do valor desta densidade constante, sendo portanto uma característica geométrica da curva. Se é o trecho de hélice para , que corresponde a uma voltana hélice, use sua intuição para dizer qual deve ser o centróide de . Confirme sua resposta calculando o centróide por meio de integrais de linha.
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos uma hélice definida pela parametrização para variando de a . A questão pede para encontrarmos o centróide dessa hélice usando nossa intuição e depois confirmarmos o resultado com cálculos utilizando integrais de linha.
Conteúdo da Matéria: Cálculo de centróide (centro de massa) de curvas no espaço, parametrização de hélices, e uso de integrais de linha para determinar características geométricas.
O que Precisamos: Entender como calcular o centróide de uma curva usando integrais de linha, conhecer a parametrização da hélice fornecida e aplicar esses conceitos passo a passo.
Passo 2
Intuição Inicial: Vamos pensar de forma simples. A hélice completa uma volta inteira ao redor do eixo , começando em até . Graças à simetria da hélice em torno desse eixo, esperamos que as coordenadas e do centróide sejam zero. Quanto à coordenada , ela varia de a , então o valor médio deve ser .
Intuição: O centróide deve ser .
Passo 3
Confirmação com Cálculos: Agora, vamos calcular o centróide usando integrais de linha para confirmar nossa intuição. O centróide de uma curva parametrizada por , de a , é dado por:
onde é o comprimento total da curva.
Passo 4
Calculando o Comprimento Total :
Primeiro, determinamos :
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão:
Passo 5
Calculando :
Calculando a integral:
Portanto:
barx = 02pi = 0
Passo 6
Calculando bary :
bary = 1L integralC y , ds = 12piraiz2 integral0^2pi sin t cdot raiz2 , dt = 12pi integral0^2pi sin t , dt
Calculando a integral:
integral0^2pi sin t , dt = -cos t gr|0^2pi = -1 + 1 = 0
Portanto:
bary = 02pi = 0
Passo 7
Calculando barz :
barz = 1L integralC z , ds = 12piraiz2 integral0^2pi t cdot raiz2 , dt = 12pi integral0^2pi t , dt