O centróide de uma curva é o seu centro de massa no caso em que a densidade é constante; note que o centróide independe do valor desta densidade constante, sendo portanto uma característica geométrica da curva. Se C é o trecho de hélice (cos t, sen t, t) para 0 <= t <= 2 pi, que corresponde a uma voltana hélice, use sua intuição para dizer qual deve ser o centróide de C. Confirme sua resposta calculando o centróide por meio de integrais de linha.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma hélice definida pela parametrização C(t) = (cos t, sin t, t) para t variando de 0 a 2pi . A questão pede para encontrarmos o centróide dessa hélice usando nossa intuição e depois confirmarmos o resultado com cálculos utilizando integrais de linha.
Conteúdo da Matéria: Cálculo de centróide (centro de massa) de curvas no espaço, parametrização de hélices, e uso de integrais de linha para determinar características geométricas.
O que Precisamos: Entender como calcular o centróide de uma curva usando integrais de linha, conhecer a parametrização da hélice fornecida e aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Intuição Inicial: Vamos pensar de forma simples. A hélice completa uma volta inteira ao redor do eixo z , começando em t = 0 até t = 2pi . Graças à simetria da hélice em torno desse eixo, esperamos que as coordenadas x e y do centróide sejam zero. Quanto à coordenada z , ela varia de 0 a 2pi , então o valor médio deve ser pi .
Intuição: O centróide deve ser (0, 0, pi) .

Passo 3

Confirmação com Cálculos: Agora, vamos calcular o centróide usando integrais de linha para confirmar nossa intuição. O centróide (barx, bary, barz) de uma curva parametrizada por C(t) = (x(t), y(t), z(t)) , de t = a a t = b , é dado por:
barx = 1L integralC x , ds, bary = 1L integralC y , ds, barz = 1L integralC z , ds
onde L = integralC ds é o comprimento total da curva.

Passo 4

Calculando o Comprimento Total L :
Primeiro, determinamos L :
L = integral0^2pi raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 + ( dzdt )^2 , dt
Calculando as derivadas:
dxdt = -sin t, dydt = cos t, dzdt = 1
Substituindo na expressão:
L = integral0^2pi raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 , dt = integral0^2pi raizsin^2 t + cos^2 t + 1 , dt = integral0^2pi raiz2 , dt = raiz2 cdot 2pi = 2piraiz2

Passo 5

Calculando barx :
barx = 1L integralC x , ds = 12piraiz2 integral0^2pi cos t cdot raiz2 , dt = 12pi integral0^2pi cos t , dt
Calculando a integral:
integral0^2pi cos t , dt = sin t gr|0^2pi = 0
Portanto:
barx = 02pi = 0

Passo 6

Calculando bary :
bary = 1L integralC y , ds = 12piraiz2 integral0^2pi sin t cdot raiz2 , dt = 12pi integral0^2pi sin t , dt
Calculando a integral:
integral0^2pi sin t , dt = -cos t gr|0^2pi = -1 + 1 = 0
Portanto:
bary = 02pi = 0

Passo 7

Calculando barz :
barz = 1L integralC z , ds = 12piraiz2 integral0^2pi t cdot raiz2 , dt = 12pi integral0^2pi t , dt
Calculando a integral:
integral0^2pi t , dt = t^22 gr|0^2pi = (2pi)^22 - 0 = 4pi^22 = 2pi^2
Portanto:
barz = 2pi^22pi = pi

Resposta

O centróide da hélice C é (0, , 0, , pi) .

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