Inverter a ordem de integração na integral integral-2^3 integral0^-x^2+x+6 f(x, y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral-2^3integral0^-x^2+x+6f(x,y),dy,dx
Vamos descrever a região de integração no plano (x,y) e obter os novos limites em função de y.

Passo 2

A região R é dada por
-2<= x<= 3, 0<= y<= -x^2+x+6
A fronteira superior é a parábola y=-x^2+x+6, que cruza o eixo x em x=-2 e x=3.

Passo 3

Para inverter, precisamos do menor e do maior valor de y em R. A parábola atinge o máximo em x=tfrac12, com
ymax=-l(tfrac12r)^2+tfrac12+6=6+tfrac14=tfrac254
Logo y varia de 0 até tfrac254.

Passo 4

Para um y fixo em l[0,tfrac254r], os valores de x satisfazem
-x^2+x+6 = y Long<=ftrightarrow x^2 - x + (y-6)=0 Longrightarrow x = 1pmraiz1-4(y-6)2 = 1pmraiz25-4y2
Portanto x vai de
1-raiz25-4y2 até 1+raiz25-4y2 é

Passo 5

Escrevendo a integral com a ordem invertida, temos
integraly=0^tfrac254 integralx=1-raiz25-4y2^1+raiz25-4y2 f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^tfrac254 integral1-raiz25-4y2^1+raiz25-4y2 f(x,y),dx,dy

Exercícios relacionados