Esboce o gráfico das equações polares dadas.
r=cos 5 theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
r = cos(5theta)
O conteúdo é curvas do tipo “rosa” (rose curves). Para resolver, vamos usar a teoria de curvas polares: periodicidade, número de pétalas e localização de máximos e zeros.

Passo 2

Identificamos o parâmetro n=5 em cos(ntheta). Quando n é ímpar, a rosa tem exatamente n pétalas, cada uma de comprimento máximo |rmax|=1. Portanto, nossa curva terá 5 pétalas de raio 1.

Passo 3

Determinar os ângulos em que surgem os máximos de r. Queremos
cos(5theta)=1 Longrightarrow 5theta = 2kpi Longrightarrow theta = 2kpi5,
com k=0,1,2,3,4. São cinco direções igualmente espaçadas em theta=0,tfrac2pi5,tfrac4pi5,tfrac6pi5,tfrac8pi5, onde r=1.

Passo 4

Encontrar os zeros, que determinam a separação entre pétalas. Resolve-se
cos(5theta)=0 Longrightarrow 5theta = pi2 + kpi Longrightarrow theta = pi10 + kpi5,
para k=0,1,dots,4. Nesses ângulos temos r=0 e a curva cruza a origem.

Passo 5

Verificar o sinal de r. Onde cos(5theta) é negativo, desenhamos “pétalas negativas”, que na prática viram pétalas positivas espelhadas em theta+pi. Mas como já contamos n pétalas para n ímpar, basta seguir o esboço padrão.

Passo 6

Esboço final:
  • Sobre [0,2pi], marque os zeros em theta=tfracpi10+kpi5 para dividir o círculo em 10 arcos.
  • Em cada direção theta=tfrac2kpi5, desenhe uma pétala de alcance até r=1.
  • As pétalas ficam igualmente espaçadas de 72^circ ( tfrac2pi5) entre si, começando uma pétala apontada para a direita ( theta=0).
O resultado é uma rosa de 5 pétalas simetricamente distribuídas.

Resposta

O gráfico é a rosa polar de 5 pétalas de raio 1, dada por r=cos(5theta), com pétalas apontando em theta=0,tfrac2pi5,tfrac4pi5,tfrac6pi5,tfrac8pi5.

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