Calcular a série de Taylor para ln(x), tomardo x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor da função \ln(x) em torno de x_{0}=1. Vamos usar a definição de série de Taylor centrada em x_{0}:
\ln(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}\,(x-1)^{n},
onde precisamos calcular as derivadas de \ln(x) em x=1.

Passo 2

Calculamos as primeiras derivadas de f(x)=\ln(x) e avaliamos em x=1:
f(x)=\ln(x),\quad f(1)=0.
f'(x)=\frac{1}{x},\quad f'(1)=1.
f''(x)=-\frac{1}{x^{2}},\quad f''(1)=-1.
f'''(x)=\frac{2}{x^{3}},\quad f'''(1)=2.
Observamos o padrão para n\ge1:
f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\,(n-1)!\,x^{-n},
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f^{(n)}(1)=(-1)^{n-1}\,(n-1)!.

Passo 3

Substituímos f^{(n)}(1) na fórmula de Taylor para n\ge1. O termo geral é
\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^{n} =\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}(x-1)^{n} =\frac{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^{n}.
Como f(1)=0, o somatório começa em n=1.

Passo 4

Portanto a série de Taylor fica
\ln(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\,(x-1)^{n}.
O raio de convergência é R=1, ou seja, a série converge para |x-1|<1 (isto é, 0<x<2).

Resposta

\ln(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\,(x-1)^{n},\quad |x-1|<1.

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