(2,0) Determine o valor de a-b tal que p(x)=4 x^{3}+a x+b seja divisível por g(x)= 2 x^{2}-x+1.

Passo 1

O enunciado pede para achar \,a-b de modo que o polinômio
p(x)=4x^{3}+a x+b
seja divisível pelo polinômio
g(x)=2x^{2}-x+1.
O conteúdo envolvido é divisibilidade de polinômios: “ g(x) divide p(x)” significa que existe um quociente q(x) sem resto.

Passo 2

Como \deg g=2 e \deg p=3, o quociente q(x) deve ser um polinômio de grau 1. Logo, suponha
q(x)=m x+n.
A condição de divisibilidade é
p(x)=g(x)\,q(x),
ou seja,
4x^{3}+a x+b = (2x^{2}-x+1)\,(m x+n).

Passo 3

Vamos expandir o produto e igualar coeficientes.
(2x^{2}-x+1)(m x+n) =2m\,x^{3} + (2n - m)\,x^{2} + (m - n)\,x + n.
Comparando com
4x^{3}+0\cdot x^{2}+a\,x+b
obtemos o sistema:
\begin{cases} 2m = 4,\\\\ 2n - m = 0,\\\ m - n = a,\\\ n = b. \end{cases}
Da primeira equação vem m=2. Substituindo na segunda,
2n - 2 = 0\quad\Longrightarrow\quad n=1.
Então
a = m - n = 2 - 1 = 1, \qquad b = n = 1.

Passo 4

Agora calculamos
a - b = 1 - 1 = 0.

Resposta

0

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