Calcular a solução geral das seguintes E.D.O. homogêneas .
y^prime prime-y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' + y = 0
Vamos usar o método da equação característica, que consiste em propor y = e^r x e encontrar os valores de r que satisfazem a equação.

Passo 2

Substituindo y = e^r x na EDO, temos
r^2 e^r x - r e^r x + e^r x = 0
Como e^r xneq 0, isso leva à equação característica
r^2 - r + 1 = 0

Passo 3

Para resolver
r^2 - r + 1 = 0
aplicamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot1 = -3
Logo as raízes são complexas conjugadas:
r = 1 pm iraiz32

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes r = alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha = tfrac12 e beta = tfracraiz32. Substituindo, obtemos
y(x) = e^tfrac12 xl(C1cosl(tfracraiz32xr) + C2sinl(tfracraiz32xr)r)

Resposta

y(x) = e^tfrac12 xl(C1cosl(tfracraiz32xr) + C2sinl(tfracraiz32xr)r)

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