Determine, utilizando integração e atravéz da fórmula V=Ab times h / 3, o volume do tetraedro limitado pelos planos x+2 y+z=2, x=2 y, x=0 e z=0. (Resposta 1/3.)

Passo 1

Tranquilo, vamos lá! O exercício pede o volume do tetraedro limitado pelos planos
x+2y+z=2, x=2y, x=0, z=0
É conteúdo de Geometria Analítica e Cálculo de Volume: a ideia é achar a base no plano z=0, calcular sua área via integral dupla e depois usar a fórmula
V=Abtimes h3
onde h é a altura (distância do vértice oposto até o plano da base).

Passo 2

Primeiro, a base está no plano z=0. Nesse plano a face do tetraedro é o triângulo definido por:
x=0,
x=2y,
– interseção de x+2y+z=2 com z=0, isto é x+2y=2.
Para achar os vértices desse triângulo, resolvemos as interseções:
  1. x=0 e x+2y=2;to;(0,1)
  2. x=2y e x+2y=2;to;2y+2y=2implies y=tfrac12,;x=1;to;(1,tfrac12)
  3. x=0 e x=2y;to;(0,0)
    Logo, a base é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,tfrac12) no plano z=0.

Passo 3

Vamos calcular a área da base
Ab=integral duplaD1,dA
onde D é esse triângulo. Pra integrar, dividimos em dois trechos em y=tfrac12:
  • Para 0<= y<=tfrac12, a reta dominante é x=2y, então 0<= x<=2y.
  • Para tfrac12<= y<=1, a reta dominante é x=2-2y, então 0<= x<=2-2y.
    Assim
Ab =integraly=0^1/2!integralx=0^2y1,dx,dy +integraly=1/2^1!integralx=0^2-2y1,dx,dy
Calculando cada parte:
  1. integral0^1/2(2y),dy =l[y^2r]0^1/2 =tfrac14
  2. integral1/2^1(2-2y),dy =l[2y-y^2r]1/2^1 =(2-1)-(1-tfrac14) =1-tfrac34 =tfrac14
    Somando dá
Ab=tfrac14+tfrac14=tfrac12

Passo 4

Agora a altura h: é a distância do vértice oposto (que ocorre em x=0,y=0) até o plano base z=0. Na reta x=0,y=0 a equação x+2y+z=2 vira z=2, então o vértice é (0,0,2). Logo
h=2-0=2

Passo 5

Basta aplicar
V=Abtimes h3 =tfrac12times23 =13

Resposta

13

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