Determine, utilizando integração e atravéz da fórmula
, o volume do tetraedro limitado pelos planos
e
. (Resposta 1/3.)
Passo 1
Tranquilo, vamos lá! O exercício pede o volume do tetraedro limitado pelos planos
É conteúdo de Geometria Analítica e Cálculo de Volume: a ideia é achar a base no plano
, calcular sua área via integral dupla e depois usar a fórmula
onde
é a altura (distância do vértice oposto até o plano da base).
Passo 2
Primeiro, a base está no plano
. Nesse plano a face do tetraedro é o triângulo definido por:
– ,
– ,
– interseção de com
, isto é
.
Para achar os vértices desse triângulo, resolvemos as interseções:
–
–
– interseção de
Para achar os vértices desse triângulo, resolvemos as interseções:
-
e -
e -
e
Logo, a base é o triângulo com vértices, e no plano .
Passo 3
Vamos calcular a área da base
onde
é esse triângulo. Pra integrar, dividimos em dois trechos em
:
- Para
, a reta dominante é , então . - Para
, a reta dominante é , então .
Assim
Calculando cada parte:
-
-
Somando dá
Passo 4
Agora a altura
: é a distância do vértice oposto (que ocorre em
) até o plano base
. Na reta
a equação
vira
, então o vértice é
. Logo
Passo 5
Basta aplicar