Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y=raizx e pelas retas y=2 e x=0 em torno:
da reta y=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por y=raizx, y=2 e x=0 em torno da reta y=3. O conteúdo é volume de sólidos de revolução; usaremos o método das cascas cilíndricas, pois facilita ao usar fatias horizontais para uma reta de rotação horizontal.

Passo 2

Tomamos uma fatia horizontal de espessura dy em yin[0,2]. Essa fatia estende-se de x=0 até x=y^2. Ao girar em torno de y=3, cada fatia gera uma casca de
bul<=t raio r=3-y,
bul<=t altura h=y^2,
bul<=t espessura dy.

Passo 3

O volume de uma casca é
dV = 2pi,(raio),(a<ura),dy = 2pi,(3-y),y^2,dy
Integrando de y=0 até y=2, obtemos
V = integral0^2 2pi,(3-y),y^2,dy

Passo 4

Expandindo e integrando:
V = 2pi integral0^2 l(3y^2 - y^3r) dy = 2pi [3y^33 - y^44]0^2 = 2pi l(8 - 4r) = 8pi

Resposta

8pi

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