O enunciado pede a solução geral da equação de primeira ordem
Isto é um ODE não–homogêneo e não–exato à primeira vista. Vamos inverter para tratar em função de e depois usar uma substituição que transforme em equação separável.
Passo 2
Invertemos a equação escrevendo
e introduzimos a nova variável
Note que então
Passo 3
Diferenciando em relação a , obtemos
Por outro lado, da inversão temos
Igualando as duas expressões de ,
ou seja
Passo 4
Reescrevendo a separação de variáveis,
Integramos os dois lados:
Passo 5
Para o lado esquerdo usamos a decomposição
cuja integral é
No lado direito sai
-lnl|y-pir|
Assim obtemos a relação implícita
12lnl|u^2+u-1r| +12raiz5 lngl|2u+1-raiz52u+1+raiz5gr| +lnl|y-pir| = C
Passo 6
Voltando à variável original u=(x+pi)/(y-pi), a solução geral fica dada implicitamente por
boxed 12lnl|l(x+piy-pir)^2 +x+piy-pi-1r| +12raiz5 lngl|2x+piy-pi+1-raiz5 2x+piy-pi+1+raiz5gr| +lnl|y-pir| = C