Cálcular a solução geral das seguintes equações:
y^prime=x+pix+y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de primeira ordem
dydx=x+pix+y,
Isto é um ODE não–homogêneo e não–exato à primeira vista. Vamos inverter para tratar x em função de y e depois usar uma substituição que transforme em equação separável.

Passo 2

Invertemos a equação escrevendo
dxdy=x+y,x+pi,
e introduzimos a nova variável
u=x+piy-pi,
Note que então
x+pi=u,(y-pi), x=u,(y-pi)-pi

Passo 3

Diferenciando em relação a y, obtemos
dxdy =ddyl(u,(y-pi)-pir) =u + (y-pi),dudy
Por outro lado, da inversão temos
dxdy =1+y-pi,x+pi, =1+y-piu,(y-pi) =1+1u
Igualando as duas expressões de dx/dy,
u+(y-pi),dudy =1+1u,
ou seja
(y-pi),dudy =1u-u+1- u =1-u^2-uu =-u^2+u-1u

Passo 4

Reescrevendo a separação de variáveis,
u,u^2+u-1,,du =-dy,y-pi,
Integramos os dois lados:
integral uu^2+u-1,du =-integral dyy-pi

Passo 5

Para o lado esquerdo usamos a decomposição
uu^2+u-1 =12;2u+1u^2+u-1 +12;1u^2+u-1,
cuja integral é
12lnl|u^2+u-1r| +12raiz5 lngl|2u+1-raiz5,2u+1+raiz5gr|
No lado direito sai
-lnl|y-pir|
Assim obtemos a relação implícita
12lnl|u^2+u-1r| +12raiz5 lngl|2u+1-raiz52u+1+raiz5gr| +lnl|y-pir| = C

Passo 6

Voltando à variável original u=(x+pi)/(y-pi), a solução geral fica dada implicitamente por
boxed 12lnl|l(x+piy-pir)^2 +x+piy-pi-1r| +12raiz5 lngl|2x+piy-pi+1-raiz5 2x+piy-pi+1+raiz5gr| +lnl|y-pir| = C

Resposta

12lnl|l(x+piy-pir)^2 +x+piy-pi-1r| +12raiz5 lngl|2x+piy-pi+1-raiz5 2x+piy-pi+1+raiz5gr| +lnl|y-pir| = C,
que é a forma implícita da solução geral.

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