Use o Teste da Integral para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty ln nn
Observe que, para esta série do item (c), apesar da função f(x)=ln xx ser claramente positiva para x>1, não é óbvio se f é decrescente, como o Teste da Integral exige.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teste da Integral para determinar se a série sumn=1^infty ln nn converge ou diverge. Então, vamos revisar o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo para resolver essa série.

Passo 2

Primeiro, o Teste da Integral diz que, se temos uma série infinita sumn=1^infty f(n), onde f(x) é uma função positiva, contínua e decrescente para x >= N (um certo número natural N), então a série converge se e somente se a integral integralN^infty f(x) , dx converge.
No nosso caso, f(n) = ln nn. Precisamos verificar se f(x) = ln xx é positiva e decrescente para x > 1.

Passo 3

Vamos ver se f(x) é positiva. Para x > 1, ln x é positiva e x também é positivo, então ln xx é positiva. Show!
Agora, precisamos verificar se f(x) é decrescente. Para isso, derivamos f(x) em relação a x e vemos se a derivada é negativa.
A derivada de f(x) é:
f'(x) = 1x cdot 1x - ln xx^2 = 1 - ln xx^2
Para x > e (onde e approx 2,718), 1 - ln x é negativo, então f'(x) é negativo. Isso significa que f(x) é decrescente para x > e.

Passo 4

Agora que sabemos que f(x) é positiva e decrescente para x > e, podemos aplicar o Teste da Integral.
Vamos calcular a integral:
integrale^infty ln xx , dx
Fazendo a substituição u = ln x, temos du = 1x dx. Então, a integral se transforma em:
integral1^infty u , du = u^22 |1^infty

Passo 5

Avaliando a integral:
limb to infty ( b^22 - 12 ) = infty
A integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.

Resposta

A série sumn=1^infty ln nn diverge pelo Teste da Integral.

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