Use o Teste da Integral para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Observe que, para esta série do item , apesar da função ser claramente positiva para , não é óbvio se é decrescente, como o Teste da Integral exige.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teste da Integral para determinar se a série converge ou diverge. Então, vamos revisar o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo para resolver essa série.
Passo 2
Primeiro, o Teste da Integral diz que, se temos uma série infinita , onde é uma função positiva, contínua e decrescente para (um certo número natural ), então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, . Precisamos verificar se é positiva e decrescente para .
Passo 3
Vamos ver se é positiva. Para , é positiva e também é positivo, então é positiva. Show!
Agora, precisamos verificar se é decrescente. Para isso, derivamos em relação a e vemos se a derivada é negativa.
A derivada de é:
Para (onde ), é negativo, então é negativo. Isso significa que é decrescente para .
Passo 4
Agora que sabemos que é positiva e decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral.
Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição , temos . Então, a integral se transforma em:
Passo 5
Avaliando a integral:
limb to infty ( b^22 - 12 ) = infty
A integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.
Resposta
A série sumn=1^infty ln nndiverge pelo Teste da Integral.