Use o Teste da Série Alternada para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty (-1)^n-1n (série harmônica alternada)

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty (-1)^n-1n. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge utilizando o Teste da Série Alternada. Para isso, precisamos entender o que é uma série alternada e quais são as condições do teste.

Passo 2

Primeiro, uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal alternadamente, ou seja, positivo, negativo, positivo, e assim por diante. No nosso caso, o termo geral da série é (-1)^n-1n, que alterna o sinal a cada termo.

Passo 3

O Teste da Série Alternada nos diz que uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n-1 bn converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn são decrescentes: bn+1 <= bn para todo n.
  2. O limite de bn quando n tende ao infinito é zero: limn to infty bn = 0.

Passo 4

No nosso caso, identificamos bn = 1n. Vamos verificar as duas condições do teste.

Passo 5

Primeira condição: Verificar se bn é decrescente.
Para bn = 1n e bn+1 = 1n+1, claramente 1n+1 < 1n para todo n positivo. Portanto, bn é decrescente.

Passo 6

Segunda condição: Verificar se limn to infty bn = 0.
Calculamos o limite:
limn to infty 1n = 0
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série sumn=1^infty (-1)^n-1n converge.

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