Use o Teste da Série Alternada para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
(série harmônica alternada)
Passo 1
Vamos analisar a série
. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge utilizando o Teste da Série Alternada. Para isso, precisamos entender o que é uma série alternada e quais são as condições do teste.
Passo 2
Primeiro, uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal alternadamente, ou seja, positivo, negativo, positivo, e assim por diante. No nosso caso, o termo geral da série é
, que alterna o sinal a cada termo.
Passo 3
O Teste da Série Alternada nos diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Passo 4
No nosso caso, identificamos
. Vamos verificar as duas condições do teste.
Passo 5
Primeira condição: Verificar se
é decrescente.
Para e
, claramente
para todo
positivo. Portanto,
é decrescente.
Para
Passo 6
Segunda condição: Verificar se
.
Calculamos o limite:
Calculamos o limite:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.
Resposta
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série
converge.