Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
y^prime(x)-y=2 e^4 xraiz10+e^3 x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x)-y(x)=2e^4xraiz10+e^3x
Para resolver vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

A equação está na forma
y'-y = g(x),
logo o coeficiente de y é -1. O fator integrante é
mu(x)=e^integral -1,dx=e^-x

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(x)=e^-x obtemos
e^-xy' - e^-xy = 2,e^4xraiz10+e^3x,e^-x Longrightarrow ddxl(y,e^-xr) =2,e^3xraiz10+e^3x

Passo 4

Integramos em x:
integral ddxl(y,e^-xr),dx =integral 2,e^3xraiz10+e^3x,dx
Fazendo a substituição
u=10+e^3x, du=3e^3x,dx ;Longrightarrow; e^3x,dx=du3,
temos
integral 2,e^3xraizu,dx =2integral 1raizucdotdu3 =23integral u^-1/2du =23cdot2u^1/2+C =43raiz10+e^3x+C
Logo
y,e^-x=43raiz10+e^3x+C

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por e^x:
y(x)=e^xl(43raiz10+e^3x+Cr) =43e^xraiz10+e^3x+C,e^x,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=43e^xraiz10+e^3x+C,e^x

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