Cálcular a solução geral das seguintes equações:
y^prime=x-y+3x-y-2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = x - y + 3x - y - 2
e pede a solução geral. Vamos usar a substituição
v = x - y
para reduzir a equação a variáveis separáveis.

Passo 2

Como v = x - y, temos
dvdx = ddx(x - y) = 1 - dydx
e portanto
dydx = 1 - dvdx

Passo 3

Substituindo dydx na equação original,
1 - dvdx = v + 3v - 2
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dvdx = 1 - v + 3v - 2 = v - 2v - 2 - v + 3v - 2 = -5v - 2

Passo 4

Agora separamos variáveis:
(v - 2),dv = -5,dx
Integramos ambos os lados:
integral (v - 2),dv = integral -5,dx ;Longrightarrow; v^22 - 2v = -5x + C

Passo 5

Multiplicando por 2 e rearranjando,
v^2 - 4v + 10x = C1
Voltando à variável original y com v = x - y, obtemos a forma implícita da solução geral:
(x - y)^2 - 4(x - y) + 10x = C1

Resposta

(x - y)^2 ;-;4(x - y);+;10x ;=; C,
onde C é constante arbitrária.

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