Calcular a solução particular das seguintes E.D.O.
y^prime prime+2 y^prime=0, tal que y=1 quando x=0 e y^prime=0 quando x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da EDO
y'' + 2y' = 0
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Trata‐se de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos y=e^rx e formamos a equação característica
r^2 + 2r = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r1 = 0 e r2 = -2.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^-2x = C1 + C2 e^-2x

Passo 4

Calculamos a derivada
y'(x) = -2,C2,e^-2x
Aplicando y'(0)=0 vem -2C2=0, logo C2=0. Em seguida, y(0)=C1 + C2 = C1 = 1.

Resposta

y(x) = 1

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