Calcule a integral indefinida.
integral 1cos ^2(t) raiz1+tg(t) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 1cos^2(t),raiz1+tan(t),dt
O conteúdo que vamos usar é a técnica de substituição (u-substitution), aproveitando que a derivada de tan(t) é 1/cos^2(t).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = tan(t),
então
du = 1cos^2(t),dt

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral 1cos^2(t),raiz1+tan(t),dt = integral duraiz1+u

Passo 4

Agora integra-se em u:
integral (1+u)^-tfrac12,du = 2,(1+u)^tfrac12 + C

Passo 5

Voltando à variável t, substituímos u=tan(t):
2,(1+u)^tfrac12 + C = 2,raiz1+tan(t) + C

Resposta

2,raiz1+tan(t) + C

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