Determine o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por e o eixo no intervalo em torno:
da reta .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta , a região limitada por , pelo eixo e pelas retas e . Esse é um problema de método dos discos (lavadores), pois a reta de rotação é horizontal e podemos usar fatias verticais de espessura .
Passo 2
Em uma abscissa genérica , a região vai de (eixo ) até . Ao rotacionar em torno de , obtemos um lavador cuja raio externo é
bul<=t raio interno é
r = l|2 - (cos x+1)r| = 2 - (cos x+1) = 1 - cos x
Passo 3
O volume é
V = integral0^pi pil[R^2 - r^2r],dx = pi integral0^pi l[2^2 - (1-cos x)^2r],dx
Passo 4
Expandindo o integrando:
2^2 - (1 - cos x)^2 = 4 - l(1 - 2cos x + cos^2 xr) = 3 + 2cos x - cos^2 x