Determine o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=cos x+1 e o eixo x no intervalo [0, pi] em torno:
da reta y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=2, a região limitada por y=cos x+1, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=pi. Esse é um problema de método dos discos (lavadores), pois a reta de rotação é horizontal e podemos usar fatias verticais de espessura dx.

Passo 2

Em uma abscissa genérica xin[0,pi], a região vai de y=0 (eixo x) até y=cos x+1. Ao rotacionar em torno de y=2, obtemos um lavador cuja
bul<=t raio externo é
R = l|2 - 0r| = 2,
bul<=t raio interno é
r = l|2 - (cos x+1)r| = 2 - (cos x+1) = 1 - cos x

Passo 3

O volume é
V = integral0^pi pil[R^2 - r^2r],dx = pi integral0^pi l[2^2 - (1-cos x)^2r],dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
2^2 - (1 - cos x)^2 = 4 - l(1 - 2cos x + cos^2 xr) = 3 + 2cos x - cos^2 x
Usando cos^2 x = tfrac1+cos(2x)2, temos
integral0^pi!(3 + 2cos x - cos^2 x),dx = integral0^pi!3,dx + integral0^pi!2cos x,dx - integral0^pi!1+cos(2x)2,dx
Calculando termo a termo:
integral0^pi3,dx = 3pi, integral0^pi2cos x,dx = 2[sin x]0^pi=0, integral0^pi1+cos(2x)2,dx = 12l[pi + 0r]=pi2
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integral0^pi!(3+2cos x-cos^2 x),dx =3pi - pi2 = 5pi2

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi times 5pi2 = 5pi^22

Resposta

5pi^22

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