Determine o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=cos x+1 e o eixo x no intervalo [0, pi] em torno:
da reta y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=-1 a região limitada pela curva
y = cos x + 1
e pelo eixo x para 0 <= x <= pi.
Conteúdo: cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método das arruelas (washers).

Passo 2

Em cada fatia vertical em x temos uma arruela de espessura dx com:
– raio externo
R(x) = l(cos x + 1r) - (-1) = cos x + 2,
– raio interno
r(x) = 0 - (-1) = 1

Passo 3

A fórmula do volume pelo método das arruelas é
V = pi integral0^pi l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx
Substituindo R(x) e r(x):
V = pi integral0^pi l[(cos x + 2)^2 - 1^2r] dx = pi integral0^pi l(cos^2 x + 4cos x +3r) dx

Passo 4

Para integrar use cos^2 x = tfrac1+cos2x2:
cos^2 x +4cos x +3 = tfrac12 + tfrac12cos2x +4cos x +3 = tfrac72 + tfrac12cos2x +4cos x
Então
V = pi integral0^pi l(tfrac72 + tfrac12cos2x +4cos xr) dx = pil[tfrac72 x + tfrac14sin2x +4sin xr]0^pi
Como sin2pi=sin0=0 e sinpi=sin0=0, sobra
V = picdot tfrac72,pi = tfrac72,pi^2

Resposta

V = 72,pi^2

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