Calcular a solução dos sistemas a seguir utilizando a decomposição de Cholesky.
\left[\begin{array}{rrrr}4 & -2 & 4 & 10 \\\ -2 & 2 & -1 & -7 \\\ 4 & -1 & 14 & 11 \\\ 10 & -7 & 11 & 31\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \x_{2} \x_{3} \x_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}2 \\\ 2 \\\ -1 \\\ -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
\begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 & 10 \\\\ -2 & 2 & -1 & -7 \\\\ 4 & -1 & 14 & 11 \\\\ 10 & -7 & 11 & 31 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 & 10 \\\\ -2 & 2 & -1 & -7 \\\\ 4 & -1 & 14 & 11 \\\\ 10 & -7 & 11 & 31 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}.
A tarefa é encontrar o vetor x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} que satisfaz A x=b.

Passo 2

Vou usar a decomposição de Cholesky. A ideia (explicada de forma simples) é escrever a matriz simétrica A como produto
A = L\,L^{T},
onde L é uma matriz triangular inferior com elementos l_{ij} (ou seja, l_{ij}=0 para j>i). Se conseguimos encontrar L, resolver A x=b fica em duas etapas:
  1. resolver L y = b por substituição direta (forward substitution);
  2. resolver L^{T} x = y por substituição retroativa (back substitution).
Fórmulas úteis para construir L (entrada a entrada), assumindo índices i,j começando em 1:
l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}},
l_{ij}=\frac{1}{l_{jj}}\left(a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik}l_{jk}\right)\quad\text{para }i>j.
Aqui a_{ij} são os elementos de A. Vou calcular L passo a passo.

Passo 3

Calcular a primeira coluna de L.
l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.
l_{21}=\frac{a_{21}}{l_{11}}=\frac{-2}{2}=-1.
l_{31}=\frac{a_{31}}{l_{11}}=\frac{4}{2}=2.
l_{41}=\frac{a_{41}}{l_{11}}=\frac{10}{2}=5.

Passo 4

Calcular a segunda coluna de L.
Primeiro o elemento diagonal
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}}=\sqrt{2-(-1)^{2}}=\sqrt{1}=1.
Agora os elementos abaixo da diagonal na coluna 2:
l_{32}=\frac{1}{l_{22}}\bigl(a_{32}-l_{31}l_{21}\bigr) =\frac{-1-(2)(-1)}{1}=-1+2=1.
l_{42}=\frac{1}{l_{22}}\bigl(a_{42}-l_{41}l_{21}\bigr) =\frac{-7-(5)(-1)}{1}=-7+5=-2.

Passo 5

Calcular a terceira coluna de L.
Diagonal:
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}} =\sqrt{14-2^{2}-1^{2}}=\sqrt{14-4-1}=\sqrt{9}=3.
Elemento l_{43} (linha 4, coluna 3):
l_{43}=\frac{1}{l_{33}}\bigl(a_{43}-l_{41}l_{31}-l_{42}l_{32}\bigr) =\frac{11-5\cdot2-(-2)\cdot1}{3} =\frac{11-10+2}{3}=\frac{3}{3}=1.

Passo 6

Calcular l_{44} (último elemento da diagonal):
l_{44}=\sqrt{a_{44}-l_{41}^{2}-l_{42}^{2}-l_{43}^{2}} =\sqrt{31-5^{2}-(-2)^{2}-1^{2}} =\sqrt{31-25-4-1}=\sqrt{1}=1.

Passo 7

Escrevendo a matriz L encontrada:
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ -1& 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 3 & 0\\\\ 5 & -2& 1 & 1 \end{pmatrix}.
Podemos (rapidamente) conferir um elemento fora da diagonal para tranquilidade: (L L^{T})_{12}=l_{11}l_{21}=2\cdot(-1)=-2, que coincide com a_{12}=-2. Isso indica que a decomposição está consistente.

Passo 8

Resolver L y = b por substituição direta. A fórmula geral para y_{i} é
y_{i}=\frac{1}{l_{ii}}\Bigl(b_{i}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}y_{k}\Bigr).
Calculemos:
y_{1}=\frac{b_{1}}{l_{11}}=\frac{2}{2}=1.
y_{2}=\frac{b_{2}-l_{21}y_{1}}{l_{22}}=\frac{2-(-1)\cdot1}{1}=2+1=3.
y_{3}=\frac{b_{3}-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2}}{l_{33}} =\frac{-1-2\cdot1-1\cdot3}{3}=\frac{-1-2-3}{3}=\frac{-6}{3}=-2.
y_{4}=\frac{b_{4}-l_{41}y_{1}-l_{42}y_{2}-l_{43}y_{3}}{l_{44}} =\frac{-2-5\cdot1-(-2)\cdot3-1\cdot(-2)}{1} =\frac{-2-5+6+2}{1}=1.
Logo
y=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 9

Resolver L^{T} x = y por substituição retroativa. A forma das equações é, para i de 4 até 1:
\sum_{j=i}^{4} l_{j i}\, x_{j}=y_{i}.
Começando de baixo:
Para i=4:
l_{44}x_{4}=y_{4}\implies 1\cdot x_{4}=1\implies x_{4}=1.
Para i=3:
l_{33}x_{3}+l_{43}x_{4}=y_{3}\implies 3x_{3}+1\cdot1=-2\implies 3x_{3}=-3\implies x_{3}=-1.
Para i=2:
l_{22}x_{2}+l_{32}x_{3}+l_{42}x_{4}=y_{2}\implies 1\cdot x_{2}+1\cdot(-1)+(-2)\cdot1=3.
Assim
x_{2}-1-2=3\implies x_{2}=6.
Para i=1:
l_{11}x_{1}+l_{21}x_{2}+l_{31}x_{3}+l_{41}x_{4}=y_{1}.
Substituindo:
2x_{1}+(-1)\cdot6+2\cdot(-1)+5\cdot1=1.
Então
2x_{1}-6-2+5=1\implies 2x_{1}-3=1\implies 2x_{1}=4\implies x_{1}=2.

Resposta

\begin{pmatrix}2\\6\\-1\\1\end{pmatrix}

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