Calcular a solução dos sistemas a seguir utilizando a decomposição de Cholesky.
\left[\begin{array}{rrr}9 & -6 & 3 \\\ -6 & 29 & -7 \\\ 3 & -7 & 18\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \x_{2} \x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-3 \\\ -8 \\\ 33\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear A x = b e pede para calcular a solução usando a decomposição de Cholesky. As informações fornecidas são:
A = \begin{pmatrix}9 & -6 & 3 \\[4pt] -6 & 29 & -7 \\[4pt] 3 & -7 & 18\end{pmatrix},\qquad x = \begin{pmatrix}x_{1} \\[4pt] x_{2} \\[4pt] x_{3}\end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}-3 \\[4pt] -8 \\[4pt] 33\end{pmatrix}.
Pergunta que precisamos responder: encontrar o vetor x que satisfaz A x = b, utilizando a decomposição de Cholesky.]

Passo 2

O que é a decomposição de Cholesky e quando dá para usar? Vou explicar devagarinho.
  • A decomposição de Cholesky procura uma matriz triangular inferior L tal que
A = L\,L^{T},
onde L^{T} é a transposta de L. Essa decomposição só existe (e é única) quando A é simétrica e definida positiva (ou, em termos práticos, quando os menores principais são positivos). No nosso caso a matriz A é simétrica (os elementos fora da diagonal espelham-se), então faz sentido tentar Cholesky.
  • Se conseguimos A = L L^{T}, para resolver A x = b fazemos dois passos:
    1. Resolver o sistema triangular inferior L y = b por substituição direta (forward substitution).
    2. Resolver o sistema triangular superior L^{T} x = y por substituição retroativa (back substitution).
Agora as fórmulas para construir L. Se L tem entradas l_{ij} (com l_{ij}=0 para j>i), então, para i=1,\dots,n:
  • Diagonal:
l_{ii} = \sqrt{\,a_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}\,}.
  • Entradas abaixo da diagonal ( j>i):
l_{ji} = \frac{1}{l_{ii}}\left(a_{ji} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{jk}\,l_{ik}\right).
Aqui a_{ij} são os elementos da matriz A. Essas fórmulas vêm de igualar A com L L^{T} e identificar entradas correspondentes. Vou aplicar isso passo a passo com números.

Passo 3

Começamos montando L como
L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\[4pt] l_{21} & l_{22} & 0 \\[4pt] l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}.
Primeiro calcule l_{11} com a fórmula da diagonal:
l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{9} = 3.
Anota aí: l_{11}=3.]

Passo 4

Agora os elementos na coluna 1 abaixo da diagonal:
Para l_{21}:
l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{-6}{3} = -2.
Para l_{31}:
l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{3}{3} = 1.
Agora temos a primeira coluna de L: (3,\,-2,\,1)^{T}.

Passo 5

Calculamos l_{22} usando a fórmula da diagonal com a soma dos quadrados já conhecidos:
l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^{2}} = \sqrt{29 - (-2)^{2}} = \sqrt{29 - 4} = \sqrt{25} = 5.
Portanto l_{22}=5.

Passo 6

Agora l_{32} (entrada da linha 3, coluna 2). Use a fórmula das entradas abaixo da diagonal:
l_{32} = \frac{1}{l_{22}}\bigl(a_{32} - l_{31}l_{21}\bigr).
Substituindo os números:
l_{32} = \frac{1}{5}\bigl(-7 - (1)(-2)\bigr) = \frac{1}{5}(-7 + 2) = \frac{-5}{5} = -1.
Então l_{32}=-1.

Passo 7

Finalmente l_{33} pela fórmula da diagonal, subtraindo os quadrados das entradas já conhecidas na linha 3:
l_{33} = \sqrt{a_{33} - l_{31}^{2} - l_{32}^{2}} = \sqrt{18 - 1^{2} - (-1)^{2}} = \sqrt{18 -1 -1} = \sqrt{16} = 4.
Assim l_{33}=4.

Passo 8

Temos, portanto, a matriz L:
L = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[4pt] -2 & 5 & 0 \\[4pt] 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
Você pode checar multiplicando L L^{T} e verificar que volta a dar A; é uma boa checagem mental (não vou repetir a multiplicação inteira aqui para não alongar demais).]

Passo 9

Agora vamos resolver L y = b (forward substitution). Escrevendo as equações linha a linha:
Linha 1:
3\,y_{1} = -3 \quad\Rightarrow\quad y_{1} = -1.
Linha 2:
-2\,y_{1} + 5\,y_{2} = -8.
Substituindo y_{1}=-1:
-2(-1) + 5\,y_{2} = -8 \quad\Rightarrow\quad 2 + 5\,y_{2} = -8 \quad\Rightarrow\quad 5\,y_{2} = -10,
logo y_{2} = -2.
Linha 3:
1\cdot y_{1} + (-1)\cdot y_{2} + 4\,y_{3} = 33.
Substituindo y_{1}=-1 e y_{2}=-2:
(-1) -(-2) + 4\,y_{3} = 33 \quad\Rightarrow\quad -1 +2 +4\,y_{3} = 33 \quad\Rightarrow\quad 1 + 4\,y_{3} = 33,
logo 4\,y_{3} = 32 e y_{3} = 8.
Então
y = \begin{pmatrix}-1 \\[4pt] -2 \\[4pt] 8\end{pmatrix}.]

Passo 10

Agora resolvemos L^{T} x = y por back substitution. A matriz L^{T} é
L^{T} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\[4pt] 0 & 5 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Escrevendo as equações de baixo para cima:
Linha 3 (última):
4\,x_{3} = y_{3} = 8 \quad\Rightarrow\quad x_{3} = 2.
Linha 2:
5\,x_{2} - 1\cdot x_{3} = y_{2} = -2.
Substituindo x_{3}=2:
5\,x_{2} - 2 = -2 \quad\Rightarrow\quad 5\,x_{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = 0.
Linha 1:
3\,x_{1} -2\,x_{2} + 1\cdot x_{3} = y_{1} = -1.
Substituindo x_{2}=0 e x_{3}=2:
3\,x_{1} + 2 = -1 \quad\Rightarrow\quad 3\,x_{1} = -3 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = -1.]

Resposta

\displaystyle x_{1} = -1
\displaystyle x_{2} = 0
\displaystyle x_{3} = 2

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