Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição LU (Doolittle), com a estratégia indicada (utilizando aproximações com 4 casas decimais).
Com pivotação parcial
O enunciado pede para resolver o sistema linear usando decomposição LU pelo método de Doolittle com pivotação parcial, sendo que os cálculos devem ser feitos aproximando os valores com 4 casas decimais. O sistema dado é
Vetor dos termos independentes: \displaystyle b=\begin{pmatrix}43\\\ 7\\\ 18\\\ 8\end{pmatrix}.
Queremos encontrar matrizes P,\;L,\;U tais que \;PA=LU (pivotação parcial) e então resolver LUx=Pb por substituição direta.
Aproximações finais serão apresentadas com 4 casas decimais.
Passo 2
Começamos a decomposição seguindo Doolittle com pivotação parcial. Tamanho n=4. No passo k=1 escolhemos o maior valor absoluto na coluna 1 entre as linhas 1 a 4: os valores são |4|,\;|1|,\;|5|,\;|2|, o maior é |5| (linha 3). Fazemos a permutação (troca da linha 1 com a linha 3). Aplicamos a mesma troca ao vetor b.
A permutação realizada é a troca das linhas 1 e 3. A matriz permutação P inicial é, portanto,
Passo k=2: escolher pivô na coluna 2 entre linhas 2 a 4. Os valores são |5|,\;|{-5}|,\;|2|; o maior é 5 (ocorre na linha 2 e na linha 3, tomamos a primeira ocorrência, ou seja, não trocamos linhas). Então o pivô é a_{22}=5.
Passo k=3: escolher pivô na coluna 3 entre linhas 3 e 4: valores |4{,}0| e |-2{,}12|. Maior é |4{,}0| (linha 3), portanto não trocamos linhas. O pivô é a_{33}=4{,}0.
Agora a matriz U (a parte triangular superior) está obtida.
Passo 6
Montamos as matrizes L e U (com aproximações a 4 casas decimais). Lembre que L tem 1 na diagonal e os multiplicadores abaixo dela, e U é a triangular superior resultante.
Breve verificação (opcional mas útil): substituindo em Ax obtém-se aproximadamente o vetor \begin{pmatrix}43\\\ 7\\\ 18\\\ 8\end{pmatrix}, confirmando a solução (os pequenos erros são de arredondamento).