Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição LU (Doolittle), com a estratégia indicada (utilizando aproximações com 4 casas decimais).
Com pivotação parcial
\left[\begin{array}{rrrr} 4 & -1 & 3 & 8 \\\ 1 & 6 & 2 & -3 \\\ 5 & 5 & 1 & 0 \\\ 2 & 4 & -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 43 \\\ 7 \\\ 18 \\\ 8 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando decomposição LU pelo método de Doolittle com pivotação parcial, sendo que os cálculos devem ser feitos aproximando os valores com 4 casas decimais. O sistema dado é
\begin{pmatrix} 4 & -1 & 3 & 8\\\\ 1 & 6 & 2 & -3\\\\ 5 & 5 & 1 & 0\\\\ 2 & 4 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}43\\\ 7\\\ 18\\\ 8\end{pmatrix}.
Informações relevantes que vamos usar:
  • Matriz dos coeficientes: \displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & -1 & 3 & 8\\\ 1 & 6 & 2 & -3\\\ 5 & 5 & 1 & 0\\\ 2 & 4 & -1 & 1\end{pmatrix}.
  • Vetor dos termos independentes: \displaystyle b=\begin{pmatrix}43\\\ 7\\\ 18\\\ 8\end{pmatrix}.
  • Queremos encontrar matrizes P,\;L,\;U tais que \;PA=LU (pivotação parcial) e então resolver LUx=Pb por substituição direta.
  • Aproximações finais serão apresentadas com 4 casas decimais.

Passo 2

Começamos a decomposição seguindo Doolittle com pivotação parcial. Tamanho n=4. No passo k=1 escolhemos o maior valor absoluto na coluna 1 entre as linhas 1 a 4: os valores são |4|,\;|1|,\;|5|,\;|2|, o maior é |5| (linha 3). Fazemos a permutação (troca da linha 1 com a linha 3). Aplicamos a mesma troca ao vetor b.
A permutação realizada é a troca das linhas 1 e 3. A matriz permutação P inicial é, portanto,
P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e após a permutação temos
PA = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 1 & 0\\\\ 1 & 6 & 2 & -3\\\\ 4 & -1 & 3 & 8\\\\ 2 & 4 & -1 & 1 \end{pmatrix},\qquad Pb = \begin{pmatrix}18\\\ 7\\\ 43\\\ 8\end{pmatrix}.
Neste algoritmo vamos construir L com diagonal de 1 e armazenar os multiplicadores abaixo da diagonal.]

Passo 3

Eliminação na coluna 1 (usar pivô a_{11}=5).
Cálculo dos multiplicadores (guardados em L):
\ell_{21}=\frac{1}{5}=0{,}2000,\qquad \ell_{31}=\frac{4}{5}=0{,}8000,\qquad \ell_{41}=\frac{2}{5}=0{,}4000.
Atualizamos as linhas 2,3,4 subtraindo \ell_{i1} vezes a linha 1.
Linha 2:
(1,6,2,-3)-0{,}2(5,5,1,0)=(0,5,1{,}8,-3).
Linha 3:
(4,-1,3,8)-0{,}8(5,5,1,0)=(0,-5,2{,}2,8).
Linha 4:
(2,4,-1,1)-0{,}4(5,5,1,0)=(0,2,-1{,}4,1).
Após esse passo a matriz escalonada (parte superior) fica
\begin{pmatrix} 5 & 5 & 1 & 0\\\\ 0 & 5 & 1{,}8 & -3\\\\ 0 & -5 & 2{,}2 & 8\\\\ 0 & 2 & -1{,}4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Passo k=2: escolher pivô na coluna 2 entre linhas 2 a 4. Os valores são |5|,\;|{-5}|,\;|2|; o maior é 5 (ocorre na linha 2 e na linha 3, tomamos a primeira ocorrência, ou seja, não trocamos linhas). Então o pivô é a_{22}=5.
Calculamos os multiplicadores:
\ell_{32}=\frac{-5}{5}=-1{,}0000,\qquad \ell_{42}=\frac{2}{5}=0{,}4000.
Atualizamos as linhas 3 e 4:
Linha 3:
(0,-5,2{,}2,8)-(-1)(0,5,1{,}8,-3)=(0,0,4{,}0,5).
Linha 4:
(0,2,-1{,}4,1)-0{,}4(0,5,1{,}8,-3)=(0,0,-2{,}12,2{,}2).
Agora a matriz escalonada é
\begin{pmatrix} 5 & 5 & 1 & 0\\\\ 0 & 5 & 1{,}8 & -3\\\\ 0 & 0 & 4{,}0 & 5\\\\ 0 & 0 & -2{,}12 & 2{,}2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Passo k=3: escolher pivô na coluna 3 entre linhas 3 e 4: valores |4{,}0| e |-2{,}12|. Maior é |4{,}0| (linha 3), portanto não trocamos linhas. O pivô é a_{33}=4{,}0.
Calculamos o multiplicador:
\ell_{43}=\frac{-2{,}12}{4{,}0}=-0{,}5300\quad(\text{aprox. }4\text{ casas}).
Atualizamos a linha 4:
(0,0,-2{,}12,2{,}2)-(-0{,}53)(0,0,4{,}0,5)=(0,0,0,4{,}85).
Agora a matriz U (a parte triangular superior) está obtida.

Passo 6

Montamos as matrizes L e U (com aproximações a 4 casas decimais). Lembre que L tem 1 na diagonal e os multiplicadores abaixo dela, e U é a triangular superior resultante.
L=\begin{pmatrix} 1{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000\\[4pt] 0{,}2000 & 1{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000\\[4pt] 0{,}8000 & -1{,}0000 & 1{,}0000 & 0{,}0000\\[4pt] 0{,}4000 & 0{,}4000 & -0{,}5300 & 1{,}0000 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 5{,}0000 & 5{,}0000 & 1{,}0000 & 0{,}0000\\[4pt] 0{,}0000 & 5{,}0000 & 1{,}8000 & -3{,}0000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 4{,}0000 & 5{,}0000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 4{,}8500 \end{pmatrix}.
Confirmamos que \;PA=LU (essa é a ideia da decomposição com pivotação parcial).]

Passo 7

Agora resolvemos LUx=Pb. Primeiro fazemos substituição para frente Ly=Pb.
Temos Pb=\begin{pmatrix}18\\\ 7\\\ 43\\\ 8\end{pmatrix}.
Equações de Ly=Pb:
  1. y_1 = 18.
  2. y_2 = 7 - \ell_{21}y_1 = 7 - 0{,}2000\cdot 18 = 7 - 3{,}6 = 3{,}4.
  3. y_3 = 43 - \ell_{31}y_1 - \ell_{32}y_2 = 43 - 0{,}8000\cdot 18 -(-1{,}0000)\cdot 3{,}4
=43 - 14{,}4 + 3{,}4 = 32{,}0.
  1. y_4 = 8 - \ell_{41}y_1 - \ell_{42}y_2 - \ell_{43}y_3
=8 - 0{,}4000\cdot 18 - 0{,}4000\cdot 3{,}4 - (-0{,}5300)\cdot 32{,}0
=8 - 7{,}2 - 1{,}36 + 16{,}96 = 16{,}40.
Assim
y=\begin{pmatrix}18{,}0000\\\ 3{,}4000\\\ 32{,}0000\\\ 16{,}4000\end{pmatrix}.

Passo 8

Agora resolvemos a substituição para trás Ux=y.
Equações de Ux=y (da última para a primeira):
  1. 4{,}8500\,x_4 = 16{,}4000 \;\Rightarrow\; x_4 = \dfrac{16{,}4000}{4{,}8500} = 3{,}3814432989\ldots \approx 3{,}3814.
  2. 4{,}0000\,x_3 + 5{,}0000\,x_4 = 32{,}0000
x_3 = \dfrac{32{,}0000 - 5{,}0000\cdot x_4}{4{,}0000} = \dfrac{32 - 5\cdot 3{,}3814432989\ldots}{4} \approx 3{,}7731958763\ldots \approx 3{,}7732.
  1. 5{,}0000\,x_2 + 1{,}8000\,x_3 - 3{,}0000\,x_4 = 3{,}4000
x_2 = \dfrac{3{,}4000 - 1{,}8000\cdot x_3 + 3{,}0000\cdot x_4}{5{,}0000} \approx \dfrac{3{,}4 - 1{,}8\cdot 3{,}7731958763 + 3\cdot 3{,}3814432989}{5} \approx 1{,}3505154639\ldots \approx 1{,}3505.
  1. 5{,}0000\,x_1 + 5{,}0000\,x_2 + 1{,}0000\,x_3 + 0\cdot x_4 = 18{,}0000
x_1 = \dfrac{18{,}0000 - 5{,}0000\cdot x_2 - 1{,}0000\cdot x_3}{5{,}0000} \approx \dfrac{18 - 5\cdot 1{,}3505154639 - 3{,}7731958763}{5} \approx 1{,}4948453608\ldots \approx 1{,}4948.
Arredondando a 4 casas decimais chegamos a:
x_1\approx 1{,}4948,\qquad x_2\approx 1{,}3505,\qquad x_3\approx 3{,}7732,\qquad x_4\approx 3{,}3814.

Passo 9

Breve verificação (opcional mas útil): substituindo em Ax obtém-se aproximadamente o vetor \begin{pmatrix}43\\\ 7\\\ 18\\\ 8\end{pmatrix}, confirmando a solução (os pequenos erros são de arredondamento).

Resposta

x_{1}=1{,}4948
x_{2}=1{,}3505
x_{3}=3{,}7732
x_{4}=3{,}3814

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