Calcular as soluções dos problemas de valor de contorno através da aplicação do Método de Fourier [ \mathbf{7 , 0 0} pts]:
\partial_{t} \theta=4 \partial_{x x} \theta, \theta(0, t)=0, \theta(\pi, t)=0, \theta(x, 0)=2 \sin 3 x-2 \sin 5 x;

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de calor unidimensional em (0,\pi) com condições de contorno de Dirichlet homogêneas e condição inicial dada por combinação de senos. Mais precisamente, queremos resolver
\partial_{t}\theta = 4\,\partial_{xx}\theta,
com
\theta(0,t)=0,\quad \theta(\pi,t)=0,
e
\theta(x,0)=2\sin(3x)-2\sin(5x).
O método a usar é separação de variáveis aliado à expansão em série de Fourier em autovetores seno.

Passo 2

Procuramos soluções da forma \theta(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na PDE, obtemos
\frac{T'(t)}{4\,T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
As condições X(0)=X(\pi)=0 forçam \lambda_n = n^2, n=1,2,3,\dots, e autovetores
X_n(x)=\sin(nx).
A parte temporal satisfaz
T_n'(t) + 4\,n^2\,T_n(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad T_n(t)=e^{-4n^2t}.

Passo 3

A solução geral que satisfaz as condições de contorno é superposição das modalidades senoidais:
\theta(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,e^{-4n^2t}\,\sin(nx).
Para determinar os coeficientes A_n, fazemos t=0 e igualamos à condição inicial:
\theta(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\sin(nx) =2\sin(3x)-2\sin(5x).

Passo 4

Comparando termo a termo, vemos que só há contribuição para n=3 e n=5. Logo
A_3 = 2, \qquad A_5 = -2,
e todos os demais A_n=0 para n\neq3,5.

Resposta

\theta(x,t) =2\,e^{-4\cdot3^2\,t}\,\sin(3x)\;-\;2\,e^{-4\cdot5^2\,t}\,\sin(5x).

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