Calcular as soluções dos problemas de valor de contorno através da aplicação do Método de Fourier [
pts]:
;
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de calor unidimensional em
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas e condição inicial dada por combinação de senos. Mais precisamente, queremos resolver
com
e
O método a usar é separação de variáveis aliado à expansão em série de Fourier em autovetores seno.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na PDE, obtemos
As condições
forçam
,
, e autovetores
A parte temporal satisfaz
Passo 3
A solução geral que satisfaz as condições de contorno é superposição das modalidades senoidais:
Para determinar os coeficientes
, fazemos
e igualamos à condição inicial:
Passo 4
Comparando termo a termo, vemos que só há contribuição para
e
. Logo
e todos os demais
para
.