Encontre f.
f^{\prime \prime \prime}(x)=\cos x ; f(0)=1 ; f^{\prime}(0)=2 ; f^{\prime \prime}(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá
f^{\prime\prime\prime}(x)=\cos x,
com condições iniciais f(0)=1, f'(0)=2 e f''(0)=3. O método é integrar três vezes para obter f e usar as condições para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos a terceira derivada para obter a segunda:
f''(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C_1.
Usando f''(0)=3:
f''(0)=\sin(0)+C_1=0+C_1=3 \quad\Rightarrow\quad C_1=3.

Passo 3

Agora integramos f'' para achar f':
f'(x)=\int\bigl(\sin x+3\bigr)\,dx=-\cos x+3x+C_2.
Aplicando f'(0)=2:
f'(0)=-\cos(0)+0+C_2=-1+C_2=2 \quad\Rightarrow\quad C_2=3.

Passo 4

Finalmente integramos f' para obter f:
f(x)=\int\bigl(-\cos x+3x+3\bigr)\,dx=-\sin x+\tfrac{3}{2}x^2+3x+C_3.
Usando f(0)=1:
f(0)=-\sin(0)+0+0+C_3=0+C_3=1 \quad\Rightarrow\quad C_3=1.

Resposta

f(x)=-\sin x+\tfrac{3}{2}x^2+3x+1.

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