Para f(x)=x^{2},-2<x<2, f(x+2 L)=f(x), calcular [ \mathbf{3 , 0 0} pts]:
(a) Os coeficientes de Fourier a_{0}, a_{k}, b_{k};
(b) A série de Fourier (forma sintética);
(c) A expansão da série até k=7;
(d) A soma da série, em x=1 / 3, e em x=-2.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=x^2 de período 4 (ou seja, f(x+2L)=f(x) com L=2). Como f é par, teremos apenas termos em cosseno e b_k=0. Vamos usar as definições
(a) a_0=\tfrac{8}{3},\quad a_k=\tfrac{16(-1)^k}{k^2\pi^2},\quad b_k=0.
(b) \displaystyle f(x)=\frac{4}{3}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16(-1)^k}{k^2\pi^2}\cos\Bigl(\frac{k\pi x}{2}\Bigr).
(c) Conforme exibido no passo 6.
(d) Soma em x=\tfrac{1}{3} é \tfrac{1}{9} e em x=-2 é 4.