Para f(x)=x^{2},-2<x<2, f(x+2 L)=f(x), calcular [ \mathbf{3 , 0 0} pts]:
(a) Os coeficientes de Fourier a_{0}, a_{k}, b_{k};
(b) A série de Fourier (forma sintética);
(c) A expansão da série até k=7;
(d) A soma da série, em x=1 / 3, e em x=-2.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=x^2 de período 4 (ou seja, f(x+2L)=f(x) com L=2). Como f é par, teremos apenas termos em cosseno e b_k=0. Vamos usar as definições
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_k=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\,dx, \qquad b_k=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 2

Cálculo de a_0:
\int_{-2}^{2}x^2\,dx =2\int_{0}^{2}x^2\,dx =2\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{2} =2\cdot\frac{8}{3} =\frac{16}{3}.
Logo
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}x^2\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{3} =\frac{8}{3}.

Passo 3

Cálculo de a_k para k\ge1. Como a função é par,
a_k =\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}x^2\cos\Bigl(\frac{k\pi x}{2}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{2}x^2\cos\Bigl(\frac{k\pi x}{2}\Bigr)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes obtém‐se
\int_{0}^{2}x^2\cos\Bigl(\frac{k\pi x}{2}\Bigr)\,dx =\frac{16\,(-1)^k}{k^2\pi^2}.
Portanto
a_k=\frac{16\,(-1)^k}{k^2\pi^2}.

Passo 4

Como f é par, todos os coeficientes de seno são zero:
b_k=0\quad(\forall k\ge1).

Passo 5

A série de Fourier em forma sintética é
f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos\Bigl(\frac{k\pi x}{2}\Bigr) =\frac{4}{3} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16\,(-1)^k}{k^2\pi^2} \cos\Bigl(\frac{k\pi x}{2}\Bigr).

Passo 6

Expansão truncada até k=7:
f(x)\approx \frac{4}{3} -\frac{16}{\pi^2}\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{2}\Bigr) +\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x) -\frac{16}{9\pi^2}\cos\!\Bigl(\tfrac{3\pi x}{2}\Bigr) +\frac{1}{\pi^2}\cos(2\pi x) -\frac{16}{25\pi^2}\cos\!\Bigl(\tfrac{5\pi x}{2}\Bigr) +\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x) -\frac{16}{49\pi^2}\cos\!\Bigl(\tfrac{7\pi x}{2}\Bigr).

Passo 7

A soma da série em pontos interiores contínuos converte em f(x).
  • Para x=\tfrac{1}{3}:
\sum_{k=0}^\infty\cdots=f\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2 =\frac{1}{9}.
  • Para x=-2: é ponto de qubra de período, mas a soma vale a média dos limites laterais, ambos iguais a 4. Logo
\sum_{k=0}^\infty\cdots =\frac{f(-2^+)+f(-2^-)}{2} =\frac{4+4}{2} =4.

Resposta

(a) a_0=\tfrac{8}{3},\quad a_k=\tfrac{16(-1)^k}{k^2\pi^2},\quad b_k=0.
(b) \displaystyle f(x)=\frac{4}{3}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16(-1)^k}{k^2\pi^2}\cos\Bigl(\frac{k\pi x}{2}\Bigr).
(c) Conforme exibido no passo 6.
(d) Soma em x=\tfrac{1}{3} é \tfrac{1}{9} e em x=-2 é 4.

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