Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y, z)=x+2 y+3 z sujeita às restrições g(x, y, z)=x-y+z=1 e h(x, y, z)=x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede encontrar os extremos da função
f(x,y,z)=x+2y+3z
sujeita às restrições
g(x,y,z)=x-y+z-1=0
e
h(x,y,z)=x^2+y^2-1=0.
O método de multiplicadores de Lagrange consiste em igualar
\nabla f=\lambda\,\nabla g+\mu\,\nabla h
e resolver esse sistema junto com as duas condições de restrição.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
\nabla f=(1,2,3),\quad \nabla g=(1,-1,1),\quad \nabla h=(2x,2y,0).
O sistema de Lagrange é então
\begin{cases} 1=\lambda\cdot1+\mu\cdot2x,\\\\ 2=\lambda\cdot(-1)+\mu\cdot2y,\\\\ 3=\lambda\cdot1+\mu\cdot0,\\\ x-y+z=1,\\\ x^2+y^2=1. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação vem imediatamente \lambda=3. Substituindo nas duas primeiras:
1=3+2\mu x\quad\Longrightarrow\quad\mu x=-1,
2=-3+2\mu y\quad\Longrightarrow\quad\mu y=\frac{5}{2}.
Logo
x=-\frac{1}{\mu},\quad y=\frac{5}{2\mu}.

Passo 4

Aplicamos agora a restrição x^2+y^2=1:
\Bigl(-\frac{1}{\mu}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{5}{2\mu}\Bigr)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1+\tfrac{25}{4}}{\mu^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \mu^2=\frac{29}{4}
\mu=\pm\frac{\sqrt{29}}{2}.
Para cada sinal de \mu obtemos um par (x,y) e, usando z=1-x+y, encontramos também z.

Passo 5

Caso \mu=+\tfrac{\sqrt{29}}{2}:
x=-\frac{2}{\sqrt{29}},\quad y=\frac{5}{\sqrt{29}},\quad z=1 -\Bigl(-\frac{2}{\sqrt{29}}\Bigr)+\frac{5}{\sqrt{29}} =1+\frac{7}{\sqrt{29}}.
Avalia-se
f=\,x+2y+3z =\Bigl(-\frac{2}{\sqrt{29}}+2\cdot\frac{5}{\sqrt{29}}+3\bigl(1+\frac{7}{\sqrt{29}}\bigr)\Bigr) =3+\sqrt{29}.
Caso \mu=-\tfrac{\sqrt{29}}{2}:
x=\frac{2}{\sqrt{29}},\quad y=-\frac{5}{\sqrt{29}},\quad z=1-\frac{2}{\sqrt{29}}-\frac{5}{\sqrt{29}} =1-\frac{7}{\sqrt{29}}.
Então
f=\frac{2}{\sqrt{29}}+2\Bigl(-\frac{5}{\sqrt{29}}\Bigr) +3\Bigl(1-\frac{7}{\sqrt{29}}\Bigr) =3-\sqrt{29}.

Resposta

O valor máximo é f_{\max}=3+\sqrt{29} e o valor mínimo é f_{\min}=3-\sqrt{29}.

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