1. Calcular a soma das arestas do tetraedro regular de vértices A=(raiz3, 0,1), B=(-raiz3, 0,1), C=(0,2 raiz2, 2) e D=(0,0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a soma das arestas de um tetraedro regular. Um tetraedro regular é um poliedro com 4 vértices onde todas as arestas têm o mesmo comprimento. Os vértices que a gente tem são:
  • A = (raiz3, 0, 1)
  • B = (-raiz3, 0, 1)
  • C = (0, 2raiz2, 2)
  • D = (0, 0, 4)
Para resolver isso, vamos calcular a distância entre cada par de vértices (que são as arestas) usando a fórmula da distância no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da distância entre dois pontos no espaço 3D. Se tivermos dois pontos P(x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2), a distância d entre eles é dada por:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Vamos calcular essa distância para cada par de vértices.

Passo 3

Vamos começar calculando a distância entre A e B.
  • A = (raiz3, 0, 1)
  • B = (-raiz3, 0, 1)
Aplicando a fórmula:
dAB = raiz(-raiz3 - raiz3)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 1)^2 dAB = raiz(-2raiz3)^2 + 0 + 0 dAB = raiz4 times 3 dAB = raiz12 dAB = 2raiz3

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre A e C.
  • A = (raiz3, 0, 1)
  • C = (0, 2raiz2, 2)
Aplicando a fórmula:
dAC = raiz(0 - raiz3)^2 + (2raiz2 - 0)^2 + (2 - 1)^2 dAC = raiz(raiz3)^2 + (2raiz2)^2 + (1)^2 dAC = raiz3 + 8 + 1 dAC = raiz12 dAC = 2raiz3

Passo 5

Vamos calcular a distância entre A e D.
  • A = (raiz3, 0, 1)
  • D = (0, 0, 4)
Aplicando a fórmula:
dAD = raiz(0 - raiz3)^2 + (0 - 0)^2 + (4 - 1)^2 dAD = raiz(raiz3)^2 + 0 + (3)^2 dAD = raiz3 + 9 dAD = raiz12 dAD = 2raiz3

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância entre B e C.
  • B = (-raiz3, 0, 1)
  • C = (0, 2raiz2, 2)
Aplicando a fórmula:
dBC = raiz(0 - (-raiz3))^2 + (2raiz2 - 0)^2 + (2 - 1)^2 dBC = raiz(raiz3)^2 + (2raiz2)^2 + (1)^2 dBC = raiz3 + 8 + 1 dBC = raiz12 dBC = 2raiz3

Passo 7

Vamos calcular a distância entre B e D.
  • B = (-raiz3, 0, 1)
  • D = (0, 0, 4)
Aplicando a fórmula:
dBD = raiz(0 - (-raiz3))^2 + (0 - 0)^2 + (4 - 1)^2 dBD = raiz(raiz3)^2 + 0 + (3)^2 dBD = raiz3 + 9 dBD = raiz12 dBD = 2raiz3

Passo 8

Por fim, vamos calcular a distância entre C e D.
  • C = (0, 2raiz2, 2)
  • D = (0, 0, 4)
Aplicando a fórmula:
dCD = raiz(0 - 0)^2 + (0 - 2raiz2)^2 + (4 - 2)^2 dCD = raiz0 + (2raiz2)^2 + (2)^2 dCD = raiz0 + 8 + 4 dCD = raiz12 dCD = 2raiz3

Resposta

A soma das arestas do tetraedro é:
6 times 2raiz3 = 12raiz3

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