Se P(x, y) equidista de A(-3,7) e B(4,3), qual é a relação existente entre x e y?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente precisa descobrir a relação entre x e y para um ponto P(x, y) que está exatamente na mesma distância dos pontos A(-3, 7) e B(4, 3) . Pra isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) :
Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 â
Aqui, queremos que a distância de P(x, y) até A(-3, 7) seja igual à distância de P(x, y) até B(4, 3) . Então, vamos igualar essas duas distâncias:
raiz(x + 3)^2 + (y - 7)^2 = raiz(x - 4)^2 + (y - 3)^2

Passo 3

Para simplificar, podemos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 3)^2 + (y - 7)^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2
Vamos expandir os termos:
(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 14y + 49) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9)

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, vamos cancelar os termos iguais dos dois lados:
x^2 + y^2 + 6x - 14y + 58 = x^2 + y^2 - 8x - 6y + 25
Subtraindo x^2 e y^2 de ambos os lados:
6x - 14y + 58 = -8x - 6y + 25

Passo 5

Vamos reunir os termos semelhantes para isolar x e y :
6x + 8x - 14y + 6y + 58 - 25 = 0
Simplificando:
14x - 8y + 33 = 0

Passo 6

Finalmente, podemos escrever a relação entre x e y de forma mais simples:
14x - 8y = -33
Ou, se preferir, isolando y :
y = 14x + 338

Resposta

A relação entre x e y é 14x - 8y = -33 .

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