Mostrar por indução, que se
são inteiros e
, impar, então
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados:
e são inteiros; é ímpar. - Pedido: provar que
divide , ou seja, mostrar que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A paridade de
importa: sabemos que é ímpar. - Podemos escrever qualquer inteiro ímpar
na forma com . - A prova pedida é por indução (mostrar que a afirmação vale para todos os ímpares).
Passo 2
Preparando a prova por indução: reparametrize
como
onde
é um inteiro
. A proposição a provar para cada
é:
Estratégia de indução (esquema): mostrar
(caso base) e depois provar que
(passo indutivo). Como
ímpar corresponde exatamente a todos os
, isso cobre todos os
ímpares.
Passo 3
Caso base
(ou seja,
):
Claramente
divide
(qualquer número divide ele mesmo). Logo
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para algum
vale
Isso significa que existe um inteiro
tal que
Vou usar essa hipótese para provar
.
Passo 5
Provar
: queremos mostrar que
divide
Faço uma manipulação algébrica organizada (cada passo explicado):
Começo escrevendo
agrupando potências:
Agora somo e subtraio convenientemente para tirar um fator
. Reescrevo a expressão como
Explico cada termo:
-
é simplesmente vezes o termo da hipótese indutiva. -
ainda pode ser fatorado usando . Assim
pois
.
Portanto juntando,
Passo 6
Agora uso a hipótese indutiva: por hipótese
divide
. Logo
para algum inteiro
. Multiplicando ambos os lados por
dá
ou seja, esse primeiro termo também é múltiplo de
.
O segundo termo
é obviamente múltiplo de
.
Somando dois múltiplos de
obtemos outro múltiplo de
. Portanto
é múltiplo de
. Isso mostra que
é verdadeira.
Passo 7
Conclusão por indução: como
é verdadeira e
ficou provado, pela propriedade de indução matemática
vale para todo
. Em termos de
, isso significa que para todo
ímpar (isto é, todo
da forma
) temos
Pequena observação prática (útil na prova ou na prova em prova oral): existe também a identidade algébrica direta, válida quando
é ímpar,
que dá explicitamente o quociente inteiro; a prova acima via indução mostra a divisibilidade sem precisar escrever essa soma de forma explícita.