Calcular:
\sum_{i=3}^{6} \sum_{j=0}^{2}(i+j) \cdot\left(\frac{i-3}{i}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dupla
\sum_{i=3}^{6} \sum_{j=0}^{2}(i+j)\,\biggl(\frac{i-3}{i}\biggr).
O conteúdo envolvido é soma dupla, fatoração de termos que não dependem de um dos índices e soma de progressão aritmética no índice interno.

Passo 2

Note que para um i fixo o fator \tfrac{i-3}{i} não depende de j, então podemos tirá-lo fora da soma interna:
\sum_{j=0}^{2}(i+j)\,\biggl(\frac{i-3}{i}\biggr) =\frac{i-3}{i}\,\sum_{j=0}^{2}(i+j).

Passo 3

Calculemos \sum_{j=0}^{2}(i+j). Como i é constante em relação a j,
\sum_{j=0}^{2}(i+j)=\sum_{j=0}^{2}i+\sum_{j=0}^{2}j =3\,i+(0+1+2)=3\,i+3=3\,(i+1).
Logo a soma interna vira
\frac{i-3}{i}\,\bigl[3\,(i+1)\bigr] = \frac{3\,(i-3)\,(i+1)}{i}.

Passo 4

Agora retornamos à soma em i:
\sum_{i=3}^{6}\frac{3\,(i-3)\,(i+1)}{i}.
Calculamos termo a termo:
Para i=3:
\frac{3\,(3-3)\,(3+1)}{3}=0.
Para i=4:
\frac{3\,(4-3)\,(4+1)}{4} =\frac{3\cdot1\cdot5}{4}=\frac{15}{4}.
Para i=5:
\frac{3\,(5-3)\,(5+1)}{5} =\frac{3\cdot2\cdot6}{5}=\frac{36}{5}.
Para i=6:
\frac{3\,(6-3)\,(6+1)}{6} =\frac{3\cdot3\cdot7}{6}=\frac{63}{6}=\frac{21}{2}.

Passo 5

Somando todos os termos:
0+\frac{15}{4}+\frac{36}{5}+\frac{21}{2} =\frac{15}{4}+\frac{36}{5}+\frac{21}{2}.
Colocando em denominador comum 20:
\frac{75}{20}+\frac{144}{20}+\frac{210}{20} =\frac{429}{20}.

Resposta

\displaystyle \frac{429}{20}

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