Calcule X_{1} e X_{3}, dado que:
\begin{array}{ll} \sum_{\substack{i=1 \\\ 6}}^{6} X_{i}=42 & \sum_{i=1}^{6} X_{i}^{2}=364 \\\ \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq 1,3}}^{6} X_{i}=34 & \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq 1,3}}^{6} X_{i}^{2}=324 \end{array}
Resposta: X_{1}=2 e X_{3}=6 ou X_{1}=6 e X_{3}=2

Passo 1

O enunciado dá seis números X_1,\dots,X_6 cujas somas e somas dos quadrados são conhecidas tanto no total quanto excluindo X_1 e X_3. Precisamos usar essas informações para achar exatamente X_1 e X_3.

Passo 2

Da soma total
\sum_{i=1}^6 X_i = 42
e da soma excluindo X_1 e X_3
\sum_{\substack{i=1 \\\ i\neq 1,3}}^6 X_i = 34
segue que
X_1 + X_3 = 42 - 34 = 8.
Analogamente, das somas dos quadrados
\sum_{i=1}^6 X_i^2 = 364
e
\sum_{\substack{i=1 \\\ i\neq 1,3}}^6 X_i^2 = 324
vem
X_1^2 + X_3^2 = 364 - 324 = 40.

Passo 3

Usamos a identidade
(X_1 + X_3)^2 = X_1^2 + X_3^2 + 2\,X_1X_3.
Como (X_1+X_3)^2 = 8^2 = 64 e X_1^2+X_3^2 = 40, obtemos
2\,X_1X_3 = 64 - 40 = 24 \quad\Longrightarrow\quad X_1X_3 = 12.

Passo 4

Os números X_1 e X_3 são raízes da equação
t^2 - (X_1+X_3)\,t + X_1X_3 = 0 \;\Longrightarrow\; t^2 - 8t + 12 = 0.
Resolvendo por Bhaskara,
t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2},
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t = 6 \quad\text{ou}\quad t = 2.

Resposta

X_{1}=2 e X_{3}=6 ou X_{1}=6 e X_{3}=2.

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