Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de \ 4.000,00 , durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de$10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de5 % a.a., renderia mais$ 600,00$ que o primeiro. A taxa é de:
(a) 8,0 \%
(b) 7,5 \%
(c) 7,1 \%
(d) 6,9 \%
(e) 6,2 \%

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que segue. Informações dadas:
  • Capital aplicado 1: C_1 = \$\,4.000,00.
  • Capital aplicado 2: C_2 = \$\,10.000,00.
  • Tempo de aplicação (ambos): t = 3 anos.
  • Taxa do capital C_2: i_2 = 5\% ao ano (já dada).
  • Diferença entre os juros: o capital C_2 aplicado a i_2 rende exatamente \$\,600,00 a mais que o capital C_1 aplicado à taxa desconhecida.
Pergunta pedida:
  • Qual é a taxa anual aplicada ao capital C_1 = \$\,4.000,00? (Escolha entre as alternativas fornecidas.)

Passo 2

Entendimento do modelo (fórmula) que vamos usar. Para aplicações a juros simples, a fórmula do juro acumulado ( J) é:
J = C \cdot i \cdot t
onde:
  • J é o juro total recebido no período;
  • C é o capital inicial (o dinheiro aplicado);
  • i é a taxa de juros por período (em forma decimal; por exemplo, 5\% é 0,05);
  • t é o tempo, em períodos compatíveis com a taxa (aqui anos).
Vou usar essa fórmula para calcular os juros dos dois capitais. Se algo aqui ficou confuso, pensa assim: juros simples é proporcional ao capital, à taxa e ao tempo — três fatores que se multiplicam.

Passo 3

Calcular o juro que o capital C_2 = \$\,10.000,00 rende a i_2 = 5\% ao ano em t = 3 anos. Primeiro converto a taxa para decimal:
i_2 = 5\% = 0,05.
Agora aplico a fórmula:
J_2 = C_2 \cdot i_2 \cdot t = \$\,10.000,00 \cdot 0,05 \cdot 3.
Faço as contas passo a passo:
0,05 \cdot 3 = 0,15,
\$\,10.000,00 \cdot 0,15 = \$\,1.500,00.
Portanto J_2 = \$\,1.500,00.

Passo 4

Expressar o juro que o capital C_1 = \$\,4.000,00 rende em t = 3 anos em função da taxa desconhecida. Chamo a taxa procurada de i_1. Convertendo mentalmente, i_1 será depois escrito como decimal, por exemplo 0,075 para 7,5\%. Pela fórmula:
J_1 = C_1 \cdot i_1 \cdot t = \$\,4.000,00 \cdot i_1 \cdot 3.
Posso simplificar a constante:
J_1 = \$\,4.000,00 \cdot 3 \cdot i_1 = \$\,12.000,00 \cdot i_1.

Passo 5

Usar a condição dada sobre a diferença de juros. O enunciado diz que o rendimento do capital C_2 é \$\,600,00 a mais que o rendimento do capital C_1. Em equação:
J_2 = J_1 + \$\,600,00.
Substituo J_2 = \$\,1.500,00 (do Passo 3) e J_1 = \$\,12.000,00 \cdot i_1 (do Passo 4):
\$\,1.500,00 = \$\,12.000,00 \cdot i_1 + \$\,600,00.

Passo 6

Isolar i_1 na equação. Subtraio \$\,600,00 de ambos os lados:
\$\,1.500,00 - \$\,600,00 = \$\,12.000,00 \cdot i_1.
Calculo a diferença:
\$\,900,00 = \$\,12.000,00 \cdot i_1.
Agora divido ambos os lados por \$\,12.000,00 para obter i_1:
i_1 = \frac{\$\,900,00}{\$\,12.000,00}.

Passo 7

Fazer a divisão e converter para percentual. Dividindo:
i_1 = \frac{900}{12.000} = 0,075.
Convertendo para porcentagem (multiplicar por 100\%):
i_1 = 0,075 = 7,5\%.

Passo 8

Verificação rápida (checada para não errar): com i_1 = 7,5\% = 0,075,
J_1 = \$\,12.000,00 \cdot 0,075 = \$\,900,00,
e já tínhamos J_2 = \$\,1.500,00. A diferença é
\$\,1.500,00 - \$\,900,00 = \$\,600,00,
que bate com o enunciado. Perfeito — resposta consistente.

Resposta

(b) 7,5\%

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