Carlos aplicou de seu capital a juros simples comerciais de 18 \% a.a., pelo prazo de um ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24 \% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$594,00 de juros mais do que a outra, o capital inicial era de \mathrm{R} \$ :
(a) 4600
(b) 4400
(c) 4200
(d) 4800
(e) 4900

Passo 1

O enunciado diz que Carlos aplicou parte do seu capital a juros simples comerciais de 18\% a.a. por 1 ano e o restante a 24\% a.a. também por 1 ano. Sabe-se que uma das aplicações rendeu \mathrm{R}\$\;594,00 de juros a mais que a outra. Pede-se o capital inicial total (as alternativas são (a) 4600, (b) 4400, (c) 4200, (d) 4800, (e) 4900 ).
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{taxa 1} = 18\% \text{ ao ano} = 0,18,\\\ &\text{taxa 2} = 24\% \text{ ao ano} = 0,24,\\\ &\text{prazo} = 1 \text{ ano},\\\ &\text{diferença de juros} = \mathrm{R}\$\;594,00. \end{aligned}ç

Passo 2

Vamos introduzir notação e a fórmula de juros simples que vamos usar.
Fórmula de juros simples:
J = C_{\text{aplicado}}\cdot i \cdot t,
onde:
  • J é o juro obtido,
  • C_{\text{aplicado}} é o capital aplicado naquela taxa,
  • i é a taxa de juros (no mesmo período; aqui a.a.),
  • t é o tempo em anos.
Definimos:
\begin{aligned} &C = \text{capital total inicial (o que queremos)},\\\ &x = \text{quantia aplicada a }18\% \text{ (em reais)},\\\ &\text{restante } = C - x = \text{quantia aplicada a }24\%. \end{aligned}

Passo 3

Escrevemos os juros obtidos em cada aplicação usando a fórmula de juros simples (com t=1 ano):
Juro da aplicação a 18\%:
J_{18} = x\cdot 0,18 \cdot 1 = 0,18x.
Juro da aplicação a 24\%:
J_{24} = (C-x)\cdot 0,24 \cdot 1 = 0,24(C-x).

Passo 4

Pelo enunciado, uma aplicação rendeu \mathrm{R}\$\;594,00 a mais que a outra. Como 24\%>18\%, a aplicação a 24\% rendeu mais. Logo:
J_{24}-J_{18} = \mathrm{R}\$\;594,00.
Substituindo as expressões:
0,24(C-x) - 0,18x = 594.

Passo 5

Desenvolvemos a equação e isolamos x em função de C.
Primeiro expandimos:
0,24C - 0,24x - 0,18x = 594.
Somando os termos em x:
0,24C - 0,42x = 594.
Isolando x:
0,42x = 0,24C - 594
x = \frac{0,24C - 594}{0,42}.
Comentário didático: aqui temos uma relação linear entre x (a parte aplicada a 18\%) e C (o capital total). Só com essa equação não conseguimos determinar C unicamente sem mais informação, mas como o problema é de múltipla escolha, bastará testar as alternativas compatíveis (ou procurar C que torne x uma quantia plausível).

Passo 6

Vamos testar as alternativas dadas para C. Para cada alternativa calculamos x pela fórmula acima e verificamos se gera juros compatíveis. Vou mostrar o cálculo que dá a resposta correta de forma clara.
Teste C= \mathrm{R}\$\;\(4400) (alternativa (b)):
x = \frac{0,24\cdot 4400 - 594}{0,42} = \frac{1056 - 594}{0,42} = \frac{462}{0,42} = 1100.
Isso significa aplicar \mathrm{R}\$\;1100 a 18\% e C-x=\mathrm{R}\$\;3300 a 24\%.

Passo 7

Verificação direta dos juros com C=\mathrm{R}\$\;4400, x=\mathrm{R}\$\;1100:
Juros da parte a 18\%:
J_{18} = 0,18\cdot 1100 = \mathrm{R}\$\;198,00.
Juros da parte a 24\%:
J_{24} = 0,24\cdot 3300 = \mathrm{R}\$\;792,00.
Diferença:
J_{24}-J_{18} = 792 - 198 = \mathrm{R}\$\;594,00,
que coincide exatamente com o enunciado. Portanto a alternativa C=\mathrm{R}\$\;4400 é compatível e correta.

Passo 8

Para completude, poderia-se testar as outras alternativas e ver que não produzem uma divisão “redonda” tão natural, mas como já encontramos uma alternativa que satisfaz exatamente a diferença pedida e os valores são plausíveis (quantias positivas e somando ao capital total), escolhemos essa como correta.

Resposta

(b) 4400

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