(a) Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)=x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 .
(b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação.
(c) Determine a solução geral da equação
(a) Verificar quais das funções \;z_{1}(x)=x^{2},\; z_{2}(x)=x^{3}\) e \(\;z_{3}(x)=e^{-x}\;\) são soluções da equação diferencial
\[(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0.
(b) Tomando uma das soluções do item (a) como \;y_{1}(x)\;, encontrar uma segunda solução \;y_{2}(x)\; de modo que \;y_{1},y_{2}\; formem um conjunto de soluções fundamentais (ou seja, linearmente independentes).
(c) Encontrar a solução geral da equação e, a partir dela, a solução do problema de valor inicial
Informações dadas que vamos usar: as três funções candidatas e a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes que dependem de (x]. Não há figura nem outra tabela. A resolução começa verificando substituindo cada candidato na equação.]
Passo 2
Verifico se \;z_{1}(x)=x^{2}\; é solução. Primeiro calculo derivadas:
Portanto a expressão é identicamente zero: \;z_{3}(x)=e^{-x}\; é, de fato, solução da equação. Conclusão do item (a): apenas \;z_{3}=e^{-x} é solução entre as dadas.
Passo 5
Para o item (b) escolho como \;y_{1}(x)=e^{-x}\; (a solução encontrada). Agora preciso achar uma segunda solução \;y_{2}(x)\; linearmente independente de \;y_{1}. Vou usar o método da redução de ordem, que funciona assim (explico a ideia com calma):
Passos do método (resumo e interpretação):
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0,
dividindo por (x+3) (assumindo x\neq -3).
Se já conhecemos uma solução y_{1}, procuramos uma segunda solução na forma y=v(x)\,y_{1}(x). Substituindo e simplificando, obtemos uma equação de primeira ordem para u=v'. Resolvendo essa equação obtemos v e, assim, y_{2}.
Existe uma versão direta dessa integração que resulta na fórmula
Para trabalhar localmente (domínio onde x+3 tem sinal fixo) posso escrever e^{-\int p}=(x+3)e^{-x} (o sinal absoluto só altera por um fator constante de sinal que fica absorvido nas constantes).
Esse determinante não é identicamente zero em qualquer intervalo que não contenha x=-3. Em particular, em torno de x=1 (que usamos no IVP) temos W(1)=e^{-1}\cdot 4\neq 0. Assim são linearmente independentes e formam uma base de soluções no domínio onde x\neq -3.]
Passo 8
Com as duas soluções fundamentais, escrevo a solução geral da equação (item (c)):
y(x) = C_{1}\,e^{-x} + C_{2}\,(x+2),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 9
Agora resolvo o problema de valor inicial
y(1)=1,\qquad y'(1)=3,
usando a solução geral. Primeiro computo y'\):
\[y'(x) = -C_{1}\,e^{-x} + C_{2}.