Um terreno está submetido à ação de três cargas espaçadas de 2 m uma da outra. As cargas têm intensidade de 640 \mathrm{kN}, 160 \mathrm{kN} e 200 kN respectivamente. Calcule as tensões resultantes na profundidade de um metro nos seguintes pontos:
No ponto C, abaixo da carga de 200 kN .

Passo 1

O enunciado dá três cargas pontuais Q_1=640\,\mathrm{kN}, Q_2=160\,\mathrm{kN} e Q_3=200\,\mathrm{kN} aplicadas na superfície do terreno, espaçadas de 2\,\mathrm{m} entre si. Queremos a tensão vertical resultante \Delta\sigma_z no ponto C que está a z=1\,\mathrm{m} de profundidade, exatamente abaixo de Q_3. Para isso vamos usar a solução de Boussinesq para tensão vertical de carga pontual em meio elástico semi-infinito.

Passo 2

A fórmula de Boussinesq para a tensão vertical a profundidade z e distância horizontal r de uma carga pontual Q é
\Delta\sigma_z = \frac{3\,Q}{2\pi\,z^2}\,\frac{1}{\bigl[1+(r/z)^2\bigr]^{5/2}}\,.
Como z=1\,\mathrm{m}, definimos a constante
A = \frac{3}{2\pi\,z^2} = \frac{3}{2\pi\,(1)^2} = \frac{3}{2\pi}\approx0{,}47747\,.

Passo 3

Para Q_3=200\,\mathrm{kN} em r=0:
\Delta\sigma_{3} = Q_{3}\,A\;\bigl[1+(0/1)^2\bigr]^{-5/2} =200\times0{,}47747\times1 \approx95{,}49\;\mathrm{kPa}.

Passo 4

Para Q_2=160\,\mathrm{kN} em r=2\,\mathrm{m} e Q_1=640\,\mathrm{kN} em r=4\,\mathrm{m} calculamos
\Delta\sigma_{2} =160\,A\;\bigl[1+(2/1)^2\bigr]^{-5/2} =160\times0{,}47747\times5^{-2{,}5} \approx1{,}37\;\mathrm{kPa},
\Delta\sigma_{1} =640\,A\;\bigl[1+(4/1)^2\bigr]^{-5/2} =640\times0{,}47747\times17^{-2{,}5} \approx0{,}26\;\mathrm{kPa}.

Passo 5

Somando as contribuições das três cargas:
\Delta\sigma_z = \Delta\sigma_{1} + \Delta\sigma_{2} + \Delta\sigma_{3} \approx0{,}26 + 1{,}37 + 95{,}49 =97{,}12\;\mathrm{kPa}.

Resposta

A tensão vertical resultante no ponto C, a 1\,\mathrm{m} de profundidade, é aproximadamente
\boxed{\Delta\sigma_z \approx 97{,}1\;\mathrm{kPa}.}

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