(2.0) Calcular o trabalho realizado ao se mover um objeto ao longo da parábola, y=x^{2} do ponto \mathrm{A}(1,1) ao ponto \mathrm{B}(2,4) sujeito à força \vec{F}=(2 x+1) \vec{\imath}+(x y) \vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula que se move ao longo da curva y=x^2 do ponto A(1,1) ao ponto B(2,4) sob a ação da força
\vec F=(2x+1)\,\vec\imath + (x\,y)\,\vec\jmath.
Queremos calcular o trabalho
W = \int_C \vec F\cdot d\vec r,
o que requer usar parametrização apropriada da curva.

Passo 2

Parametrizamos a curva por
x=t,\quad y=t^2,\quad t\in[1,2].
Assim
\vec r(t) = \bigl(t,\,t^2\bigr), \quad \frac{d\vec r}{dt} = (1,\,2t).

Passo 3

Em função de t, a força fica
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(2t+1,\;t\cdot t^2\bigr) = (2t+1,\;t^3).
O produto escalar com \frac{d\vec r}{dt} é
\vec F\cdot\frac{d\vec r}{dt} = (2t+1)\cdot 1 + t^3\cdot (2t) = 2t + 1 + 2t^4.

Passo 4

O trabalho é
W = \int_{t=1}^{2} \bigl(2t + 1 + 2t^4\bigr)\,dt.
Uma primitiva é
t^2 + t + \frac{2}{5}t^5,
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W = \left[\;t^2 + t + \frac{2}{5}t^5\right]_{1}^{2} = \Bigl(4 + 2 + \tfrac{64}{5}\Bigr) - \Bigl(1 + 1 + \tfrac{2}{5}\Bigr) = \frac{82}{5}.

Resposta

W = \dfrac{82}{5}.

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