(2.0) Se
é um campo de forças definido por
Mostrar que
independe do caminho.
Achar uma função potencial.
Calcular a integral
a
.
Achar uma função potencial.
Calcular a integral
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças
e pede para mostrar que
independe do caminho, encontrar uma função potencial
tal que
, e então calcular a integral de
a
. O conteúdo é teoria de campos conservativos em
e potenciais.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo numa região simplesmente conexa (aqui todo
), checamos
Como
, o campo é conservativo e a integral independe do caminho.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando
em relação a
:
onde
é “constante” em
.
Agora impomos :
Agora impomos
Logo uma função potencial é
Passo 4
Para qualquer curva de
a
,
Calculando:
portanto
Resposta
A integral independe do caminho porque
.
Uma função potencial é
Uma função potencial é
E