(2.0) Se \vec{F} é um campo de forças definido por \vec{F}=\left(3 x^{2} y-2 y^{3}+3\right) \vec{i}+\left(x^{3}-6 x y^{2}+2 y\right) \vec{j}
Mostrar que \int_{C} \vec{F} \cdot d r independe do caminho.
Achar uma função potencial.
Calcular a integral \int_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{dr} \operatorname{de}(1,1) a (1,2).

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
\vec{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) = \bigl(3x^{2}y - 2y^{3} + 3,\;x^{3} - 6xy^{2} + 2y\bigr)
e pede para mostrar que \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r independe do caminho, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec F, e então calcular a integral de (1,1) a (1,2). O conteúdo é teoria de campos conservativos em \mathbb{R}^2 e potenciais.

Passo 2

Para verificar que \vec F é conservativo numa região simplesmente conexa (aqui todo \mathbb{R}^2), checamos
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y - 2y^{3} + 3\bigr) = 3x^{2} - 6y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3} - 6xy^{2} + 2y\bigr) = 3x^{2} - 6y^{2}.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, o campo é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = P(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = Q(x,y).
Integrando P em relação a x:
\varphi(x,y) = \int\bigl(3x^{2}y - 2y^{3} + 3\bigr)\,dx = x^{3}y - 2x\,y^{3} + 3x + g(y),
onde g(y) é “constante” em x.
Agora impomos \partial\varphi/\partial y = Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^{3} - 6xy^{2} + g'(y) \overset{!}{=} x^{3} - 6xy^{2} + 2y \;\Longrightarrow\; g'(y)=2y \;\Longrightarrow\; g(y)=y^{2}.
Logo uma função potencial é
\varphi(x,y) = x^{3}y \;-\;2x\,y^{3}\;+\;3x\;+\;y^{2}.

Passo 4

Para qualquer curva de (1,1) a (1,2),
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = \varphi(1,2) - \varphi(1,1).
Calculando:
\varphi(1,2) = 1^{3}\!\cdot2 - 2\cdot1\cdot2^{3} + 3\cdot1 + 2^{2} = 2 -16 +3 +4 = -7,
\varphi(1,1) = 1^{3}\!\cdot1 - 2\cdot1\cdot1^{3} + 3\cdot1 + 1^{2} = 1 -2 +3 +1 = 3,
portanto
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = -7 - 3 = -10.

Resposta

A integral independe do caminho porque \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x.
Uma função potencial é
\varphi(x,y) = x^{3}y - 2x\,y^{3} + 3x + y^{2}.
E
\int_{(1,1)}^{(1,2)} \vec F\cdot d\vec r = -10.

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